Với phương trình logarit, điều kiện xác định là một phần của lời giải chứ không phải bước phụ. Sau khi có điều kiện, có thể đưa về cùng cơ số, dùng tính đơn ánh, gộp log hoặc đặt ẩn.
Kiến thức cốt lõi cần nắm
- \(\log_a u=\log_a v\Leftrightarrow u=v>0\) với \(a>0,a\ne1\).
- \(\log_a u=b\Leftrightarrow u=a^b\), kèm \(u>0\).
- Gộp log chỉ được thực hiện khi từng biểu thức log ban đầu xác định.
- Dạng chứa \(\log_a x\) và bình phương của nó có thể đặt \(t=\log_a x\), sau đó suy ra \(x=a^t>0\).
Quy trình giải theo từng bước
- Viết đầy đủ điều kiện của tất cả biểu thức trong log.
- Biến đổi phương trình bằng quy tắc log hợp lệ.
- Giải phương trình đại số thu được.
- Đối chiếu từng nghiệm với điều kiện ban đầu.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1
Bài toán: Giải \(\log_2(x-1)=3\).
Lời giải: Điều kiện \(x>1\). Suy ra \(x-1=8\Rightarrow x=9\), thỏa điều kiện.
Ví dụ 2
Bài toán: Giải \(\log_2 x+\log_2(x-2)=3\).
Lời giải: Điều kiện \(x>2\). Gộp: \(\log_2[x(x-2)]=3\Rightarrow x^2-2x=8\Rightarrow x=4\) hoặc -2. Chỉ nhận \(x=4\).
Lỗi thường gặp và cách tránh
- Giải phương trình trước rồi mới nghĩ tới điều kiện, dễ nhận nghiệm ngoại lai.
- Gộp \(\log u+\log v\) khi một trong hai biểu thức không dương.
- Nhầm \(\log_a u=\log_b u\) là suy ra \(a=b\) trong mọi trường hợp.
- Quên rằng cơ số phải dương và khác 1 nếu cơ số chứa tham số.
Bài tập tự luyện
-
\(\log_3 x=2\)
Đáp số/Gợi ý: 9
-
\(\ln(x+1)=0\)
Đáp số/Gợi ý: 0
-
\(\log_2(x-3)=\log_2 5\)
Đáp số/Gợi ý: 8
-
\(\log_5 x+\log_5 5=2\)
Đáp số/Gợi ý: 5
Checklist trước khi kết luận
- Đã ghi đầy đủ điều kiện các biểu thức trong logarit dương trước khi biến đổi?
- Khi gộp hoặc tách logarit, đã bảo đảm các hạng liên quan đều nằm trong miền xác định?
- Nghiệm đại số cuối cùng đã được đối chiếu lại với toàn bộ điều kiện ban đầu?
Sau phương trình logarit, dạng dễ nhầm chiều nhất là bất phương trình logarit.
Xem thêm các bài cùng nhóm Mũ – Logarit.