Đồ thị hàm bậc hai xuất hiện từ lớp 10 nhưng tiếp tục được dùng trong bài giao điểm, tham số và mô hình hóa. Nắm chắc đỉnh, trục đối xứng và phương trình hoành độ giao điểm giúp xử lý nhiều bài mà không cần vẽ quá chi tiết.
Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Phương pháp xác định tập xác định của hàm số THPT để nắm các kiến thức nền liên quan.
Kiến thức cần nhớ
- Với \(y=ax^2+bx+c\), trục đối xứng là \(x=-b/(2a)\).
- Đỉnh có hoành độ \(x_I=-b/(2a)\), tung độ \(y_I=f(x_I)\).
- Nếu \(a>0\), parabol mở lên; nếu \(a<0\), parabol mở xuống.
- Giao điểm của hai đồ thị được tìm bằng cách giải phương trình \(f(x)=g(x)\).
Các công thức chỉ hiệu quả khi dùng đúng điều kiện. Với bài có tham số, căn, mẫu, logarit hoặc lượng giác, nên ghi điều kiện ngay từ đầu thay vì bổ sung sau khi đã biến đổi.
Phương pháp giải theo từng bước
- Tính trục đối xứng và đỉnh trước.
- Tìm một số điểm đặc biệt: giao với trục tung, nghiệm nếu có.
- Khi xét giao điểm với đường thẳng, lập phương trình hoành độ giao điểm.
- Dùng biệt thức để biện luận 0, 1 hay 2 giao điểm.
Sau mỗi bước quan trọng, nên tự hỏi phép biến đổi có tương đương hay chỉ là điều kiện cần. Thói quen này đặc biệt hữu ích khi bình phương hai vế, nhân chia với biểu thức chưa biết dấu hoặc đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1
Bài toán: Tìm đỉnh của \(y=x^2-4x+1\).
Lời giải: Ta có \(x_I=2\), \(y_I=f(2)=-3\). Đỉnh là \(I(2,-3)\), trục đối xứng \(x=2\).
Ví dụ 2
Bài toán: Tìm \(m\) để đường thẳng \(y=2x+m\) tiếp xúc với parabol \(y=x^2\).
Lời giải: Hoành độ giao điểm thỏa \(x^2=2x+m\), hay \(x^2-2x-m=0\). Tiếp xúc khi \(\Delta=4+4m=0\), suy ra \(m=-1\).
Lỗi thường gặp
- Nhầm dấu trong công thức \(-b/(2a)\).
- Cho rằng phương trình có nghiệm kép là đủ mà không kiểm tra đúng phương trình giao điểm.
- Vẽ đồ thị theo cảm tính rồi kết luận số giao điểm.
Nếu kết quả cuối là một khoảng nghiệm, một giá trị cực trị hoặc một số đo hình học, hãy kiểm tra nhanh bằng cách thế ngược, ước lượng hoặc đối chiếu với hình vẽ. Một bước kiểm tra ngắn thường phát hiện được lỗi dấu hoặc lỗi điều kiện.
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Nếu chỉ cần số giao điểm, thường không cần tính tọa độ đầy đủ.
- Có thể hoàn thành bình phương để nhìn nhanh đỉnh và chiều mở.
Trong bài tự luận, nên viết đủ điều kiện, công thức được sử dụng và kết luận. Không nên thay toàn bộ lập luận bằng kết quả máy tính cầm tay hoặc hình vẽ phần mềm.
Bài tự luyện
- Bài 1: Tìm đỉnh của \(y=-2x^2+8x-5\). Đáp án/Gợi ý: Đỉnh có hoành độ 2, tung độ 3.
- Bài 2: Tìm số giao điểm của \(y=x^2-1\) và \(y=x+1\). Đáp án/Gợi ý: Giải \(x^2-x-2=0\), có hai nghiệm nên có hai giao điểm.
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Đại số & Hàm số THPT. Nên học bài P1 nền tảng trước, sau đó chuyển sang các dạng P2 để tăng khả năng nhận dạng và phối hợp phương pháp.