Bài toán trồng cây là dạng toán có lời văn quen thuộc ở lớp 3–5 và trong các bài toán tư duy. Dạng này không khó về phép tính nhưng rất dễ sai một đơn vị vì học sinh nhầm số cây với số khoảng cách giữa hai cây liên tiếp. Muốn làm chắc, trước tiên phải xác định đường trồng cây là đoạn thẳng hay đường khép kín, sau đó xem hai đầu đoạn đường có được trồng cây hay không.
1. Hai đại lượng phải phân biệt
Nếu các cây cách đều nhau thì số khoảng = độ dài đoạn đường : khoảng cách giữa hai cây liên tiếp. Trên đoạn dài 24 m, cứ 6 m có một cây, các vị trí 0, 6, 12, 18, 24 tạo thành 5 vị trí cây nhưng chỉ có 4 khoảng.
2. Bốn trường hợp cơ bản
Trồng cả hai đầu
Số cây = số khoảng + 1. Đoạn đường dài 48 m, cứ 6 m trồng một cây, hai đầu đều trồng: có 48 : 6 = 8 khoảng nên có 8 + 1 = 9 cây.
Chỉ trồng một đầu
Số cây = số khoảng. Đoạn dài 45 m, cứ 5 m đặt một cột, chỉ một đầu có cột: có 45 : 5 = 9 cột.
Không trồng ở hai đầu
Số cây = số khoảng − 1. Đoạn dài 40 m, cứ 5 m trồng một cây nhưng hai đầu là cổng: có 8 khoảng nên có 8 − 1 = 7 cây.
Trồng quanh đường khép kín
Số cây = số khoảng. Quanh sân chu vi 84 m, cứ 7 m trồng một cây: có 84 : 7 = 12 cây. Không cộng thêm 1 vì điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.
3. Bài toán ngược
Có 11 cây trồng đều trên đoạn dài 50 m và hai đầu đều có cây. Số khoảng là 11 − 1 = 10 nên khoảng cách giữa hai cây là 50 : 10 = 5 m.
Có 12 cây trồng đều quanh bồn hoa, khoảng cách giữa hai cây 4 m. Vì đường khép kín có 12 khoảng nên chu vi là 12 × 4 = 48 m.
4. Cách nhận dạng nhanh
- “Hai đầu đều trồng”: số cây = số khoảng + 1.
- “Chỉ một đầu”: số cây = số khoảng.
- “Hai đầu đều không trồng”: số cây = số khoảng − 1.
- “Quanh hồ, quanh sân, một vòng”: đường khép kín, số cây = số khoảng.
5. Lỗi thường gặp
- Tự động cộng 1 cho mọi bài.
- Quanh sân nhưng vẫn cộng 1, làm đếm trùng vị trí bắt đầu.
- Biết số cây và độ dài rồi lấy độ dài chia số cây trong trường hợp trồng cả hai đầu; đúng ra phải chia cho số khoảng = số cây − 1.
- Dùng công thức khi đề không nói các cây cách đều.
6. Bài tập tự luyện
- Đoạn dài 72 m, cứ 8 m trồng một cây, hai đầu đều trồng.
- Đoạn dài 60 m, cứ 6 m đặt một cột, hai đầu đều không đặt.
- Quanh vườn chu vi 96 m, cứ 8 m trồng một cây.
- Một đoạn có 16 cây, hai đầu đều có cây, khoảng cách 4 m. Tìm độ dài đoạn.
- Một hàng có 9 cây, hai đầu đều có cây, đoạn dài 32 m. Tìm khoảng cách.
Đáp án
- 9 khoảng, 10 cây.
- 10 khoảng, 9 cột.
- 12 cây.
- 15 khoảng, dài 60 m.
- 8 khoảng, khoảng cách 4 m.
Mẹo kiểm tra: vẽ thử 3 khoảng. Nếu trồng cả hai đầu sẽ có 4 cây; nếu bỏ hai đầu chỉ còn 2 cây. Hình vẽ nhỏ này giúp tránh học thuộc máy móc.
7. Ví dụ tổng hợp: đề không nói thẳng “trồng hai đầu”
Một con đường dài 100 m, đầu đường là cổng trường và cuối đường là ngã tư. Người ta đặt cột mốc cách nhau 10 m, cột đầu tiên cách cổng trường 10 m và cột cuối cùng cách ngã tư 10 m. Như vậy hai đầu đều không có cột. Có 100 : 10 = 10 khoảng chuẩn, các vị trí đặt cột là 10, 20, …, 90 nên có 9 cột. Đây là kiểu đề yêu cầu đọc ý nghĩa vị trí chứ không chỉ tìm từ khóa.
8. Khi khoảng cách không chia hết độ dài
Nếu đề nói “cứ 6 m trồng một cây” trên đoạn dài 50 m thì chưa thể máy móc lấy 50 : 6. Cần biết điểm bắt đầu, điểm kết thúc và quy ước có trồng cây ở phần dư hay không. Với bài toán tiểu học chuẩn, dữ kiện thường được chọn để các khoảng bằng nhau phủ đúng đoạn đường; nếu không, đề phải mô tả rõ vị trí cây cuối.
9. Câu hỏi thường gặp
Vì sao đường khép kín không cộng 1?
Vì đi hết một vòng ta quay lại đúng cây ban đầu. Nếu cộng 1 sẽ đếm cây đó hai lần.
“Một đầu có cây” có luôn bằng số khoảng không?
Đúng khi các cây cách đều trên toàn đoạn và đầu còn lại không trồng. Khi đó mỗi khoảng tương ứng với đúng một cây được tính.
Dạng này có dùng cho cột điện, ghế, biển báo không?
Có, miễn các vật được đặt cách đều và đề xác định rõ hai đầu hay đường khép kín.
Dùng hình để đếm thử trước khi nhớ công thức
Trên một đoạn thẳng có 6 cây và trồng cả hai đầu, nhìn hình sẽ thấy chỉ có 5 khoảng. Từ ví dụ nhỏ này suy ra số cây = số khoảng + 1. Nếu bỏ cây ở cả hai đầu thì số cây ít hơn số khoảng 1.
Trường hợp có vật cản hoặc cổng
Một đoạn đường dài 60 m, cứ 10 m trồng một cây, hai đầu đều trồng nhưng tại vị trí giữa đường 30 m có cổng nên không trồng. Ban đầu có 60:10+1=7 vị trí; bỏ vị trí 30 m còn 6 cây. Không thay đổi số khoảng của con đường chỉ vì một vị trí không trồng cây.
Đường khép kín
Quanh sân có chu vi 96 m, các cây cách nhau 8 m. Có 96:8=12 khoảng và 12 cây, vì điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.