Tiếp tuyến gắn trực tiếp với đạo hàm. Công thức trung tâm tại điểm có hoành độ \(x_0\) là \(y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\). Các dạng khác nhau chủ yếu ở cách tìm \(x_0\).
Kiến thức cốt lõi cần nắm
- Biết tiếp điểm \(M(x_0,f(x_0))\): tính ngay hệ số góc \(k=f'(x_0)\).
- Biết hệ số góc \(k\): giải \(f'(x_0)=k\) để tìm các tiếp điểm có thể có.
- Tiếp tuyến song song với đường \(y=ax+b\) có hệ số góc \(a\); vuông góc có hệ số góc \(-1/a\) nếu \(a\ne0\).
- Tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước thường tạo phương trình theo \(x_0\) sau khi thế tọa độ điểm đó vào phương trình tiếp tuyến.
Quy trình giải theo từng bước
- Viết \(f'(x)\) trước.
- Từ dữ kiện đề bài, tìm \(x_0\).
- Tính \(y_0=f(x_0)\) và \(k=f'(x_0)\).
- Viết \(y-y_0=k(x-x_0)\) rồi rút gọn nếu cần.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1
Bài toán: Viết tiếp tuyến của \(y=x^2\) tại \(x_0=2\).
Lời giải: \(f'(x)=2x\), nên \(k=4,y_0=4\). Tiếp tuyến: \(y-4=4(x-2)\Rightarrow y=4x-4\).
Ví dụ 2
Bài toán: Tìm tiếp tuyến của \(y=x^2\) song song với \(y=6x+1\).
Lời giải: Cần \(f'(x_0)=2x_0=6\Rightarrow x_0=3\), \(y_0=9\). Tiếp tuyến: \(y=6x-9\).
Lỗi thường gặp và cách tránh
- Dùng \(f(x_0)\) làm hệ số góc thay vì \(f'(x_0)\).
- Biết đường thẳng song song nhưng dùng luôn cùng tung độ gốc.
- Tìm được nhiều \(x_0\) nhưng chỉ viết một tiếp tuyến.
- Quên kiểm tra điểm yêu cầu có thuộc đồ thị hay không khi đề nói “tiếp tuyến tại điểm M”.
Bài tập tự luyện
-
Tiếp tuyến \(y=x^3\) tại \(x_0=1\)
Đáp số/Gợi ý: \(y=3x-2\)
-
Tiếp tuyến \(y=x^2+1\) tại \(x_0=0\)
Đáp số/Gợi ý: \(y=1\)
-
Tiếp tuyến của \(y=x^2\) có hệ số góc -4
Đáp số/Gợi ý: Tại \(x_0=-2\), \(y=-4x-4\)
Checklist trước khi kết luận
- Đã xác định đúng tiếp điểm hoặc điều kiện để tìm tiếp điểm trước khi lập tiếp tuyến?
- Hệ số góc của tiếp tuyến đã được tính bằng đạo hàm tại đúng hoành độ?
- Phương trình cuối đã đi qua tiếp điểm và có hệ số góc đúng yêu cầu?
Nếu còn nhầm đạo hàm của hàm hợp khi tính hệ số góc, nên ôn lại công thức đạo hàm THPT.
Xem thêm các bài cùng nhóm Đạo hàm – Khảo sát hàm số.