Tiếp tuyến gắn trực tiếp với đạo hàm. Công thức trung tâm tại điểm có hoành độ \(x_0\) là \(y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\). Các dạng khác nhau chủ yếu ở cách tìm \(x_0\).
Kiến thức cốt lõi cần nắm
- Biết tiếp điểm \(M(x_0,f(x_0))\): tính ngay hệ số góc \(k=f'(x_0)\).
- Biết hệ số góc \(k\): giải \(f'(x_0)=k\) để tìm các tiếp điểm có thể có.
- Tiếp tuyến song song với đường \(y=ax+b\) có hệ số góc \(a\); vuông góc có hệ số góc \(-1/a\) nếu \(a\ne0\).
- Tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước thường tạo phương trình theo \(x_0\) sau khi thế tọa độ điểm đó vào phương trình tiếp tuyến.
Điểm quan trọng là không tách công thức khỏi điều kiện áp dụng. Khi gặp bài mới, hãy xác định cấu trúc trước rồi mới chọn công cụ; cách này giúp giảm đáng kể các lỗi biến đổi theo thói quen.
Quy trình giải theo từng bước
- Viết \(f'(x)\) trước.
- Từ dữ kiện đề bài, tìm \(x_0\).
- Tính \(y_0=f(x_0)\) và \(k=f'(x_0)\).
- Viết \(y-y_0=k(x-x_0)\) rồi rút gọn nếu cần.
Nếu bài có nhiều dữ kiện, nên ghi các điều kiện ở đầu lời giải. Sau mỗi phép biến đổi có thể làm thay đổi miền nghiệm hoặc miền xác định, cần đánh dấu để đối chiếu ở cuối.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1
Bài toán: Viết tiếp tuyến của \(y=x^2\) tại \(x_0=2\).
Lời giải: \(f'(x)=2x\), nên \(k=4,y_0=4\). Tiếp tuyến: \(y-4=4(x-2)\Rightarrow y=4x-4\).
Ví dụ 2
Bài toán: Tìm tiếp tuyến của \(y=x^2\) song song với \(y=6x+1\).
Lời giải: Cần \(f'(x_0)=2x_0=6\Rightarrow x_0=3\), \(y_0=9\). Tiếp tuyến: \(y=6x-9\).
Lỗi thường gặp và cách tránh
- Dùng \(f(x_0)\) làm hệ số góc thay vì \(f'(x_0)\).
- Biết đường thẳng song song nhưng dùng luôn cùng tung độ gốc.
- Tìm được nhiều \(x_0\) nhưng chỉ viết một tiếp tuyến.
- Quên kiểm tra điểm yêu cầu có thuộc đồ thị hay không khi đề nói “tiếp tuyến tại điểm M”.
Một cách tự kiểm tra hiệu quả là thử lại kết quả bằng dữ kiện ban đầu hoặc bằng một cách nhìn thứ hai như đồ thị, dấu của biểu thức hay tính chất hình học. Máy tính cầm tay chỉ nên dùng để kiểm tra số gần đúng, không thay thế bước lập luận khi đề yêu cầu lời giải.
Bài tập tự luyện
-
Tiếp tuyến \(y=x^3\) tại \(x_0=1\)
Đáp số/Gợi ý: \(y=3x-2\)
-
Tiếp tuyến \(y=x^2+1\) tại \(x_0=0\)
Đáp số/Gợi ý: \(y=1\)
-
Tiếp tuyến của \(y=x^2\) có hệ số góc -4
Đáp số/Gợi ý: Tại \(x_0=-2\), \(y=-4x-4\)
Checklist trước khi kết luận
- Đã ghi đủ điều kiện xác định hoặc điều kiện của biến chưa?
- Công thức đang dùng có đúng dạng và đúng điều kiện không?
- Có phép chia, bình phương, lấy log hoặc đổi biến nào có thể sinh/mất nghiệm không?
- Kết quả cuối đã đúng đơn vị, đúng miền và đúng yêu cầu “chính xác” hay “gần đúng” của đề chưa?
Xem thêm các bài cùng nhóm Đạo hàm – Khảo sát hàm số để luyện theo dạng thay vì học rời từng công thức.