Lũy thừa và logarit có nhiều công thức ngắn nhưng điều kiện đi kèm rất quan trọng. Phần lớn lỗi sai đến từ việc áp dụng quy tắc đúng trong miền không hợp lệ hoặc “tách” log của tổng.
Kiến thức cốt lõi cần nắm
- Với cơ số dương \(a>0\): \(a^m a^n=a^{m+n}\), \(a^m/a^n=a^{m-n}\), \((a^m)^n=a^{mn}\).
- Logarit \(\log_a b\) xác định khi \(a>0,a\ne1,b>0\).
- Các quy tắc: \(\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y\), \(\log_a(x/y)=\log_a x-\log_a y\), \(\log_a(x^r)=r\log_a x\) khi các biểu thức nằm trong miền hợp lệ.
- Đổi cơ số: \(\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}\), đặc biệt có thể dùng ln hoặc log thập phân trên máy tính.
Quy trình giải theo từng bước
- Ghi điều kiện xác định trước khi biến đổi logarit.
- Nhóm tích/thương/lũy thừa rồi mới áp dụng quy tắc log.
- Không áp dụng quy tắc cho tổng hoặc hiệu.
- Rút gọn xong vẫn đối chiếu điều kiện ban đầu.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1
Bài toán: Rút gọn \(\log_2 8+\log_2 4\).
Lời giải: Có thể tính trực tiếp \(3+2=5\), hoặc gộp \(\log_2 32=5\).
Ví dụ 2
Bài toán: Rút gọn \(\ln(x^2)\) với \(x\ne0\).
Lời giải: Kết quả an toàn là \(2\ln|x|\), không phải luôn là \(2\ln x\) vì \(x\) có thể âm.
Lỗi thường gặp và cách tránh
- Viết \(\log(a+b)=\log a+\log b\): công thức này sai.
- Quên điều kiện biểu thức trong log phải dương.
- Cho rằng \(a^x+a^y=a^{x+y}\).
- Rút \(\ln(x^2)=2\ln x\) mà không xét \(x\lt 0\).
Bài tập tự luyện
-
\(2^3\cdot2^5\)
Đáp số/Gợi ý: 256
-
\(\log_3 27\)
Đáp số/Gợi ý: 3
-
\(\log_2 8-\log_2 2\)
Đáp số/Gợi ý: 2
-
\(\log_5 1\)
Đáp số/Gợi ý: 0
Checklist trước khi kết luận
- Đã kiểm tra cơ số, số mũ và điều kiện của logarit trước khi áp dụng công thức?
- Khi biến đổi lũy thừa, đã tránh dùng quy tắc sai với tổng hoặc hiệu?
- Nếu đổi cơ số logarit, mẫu số logarit có khác 0 và các biểu thức bên trong có dương?
Sau phần công thức, có thể luyện cách đưa hai vế về cùng cơ số trong phương trình mũ cơ bản.
Xem thêm các bài cùng nhóm Mũ – Logarit.