Bất phương trình lượng giác cơ bản trên đường tròn lượng giác

Bất phương trình lượng giác dễ sai nếu chỉ học thuộc khoảng nghiệm. Cách chắc chắn hơn là kết hợp đồ thị hoặc đường tròn lượng giác, xác định miền trong một chu kỳ rồi cộng thêm chu kỳ thích hợp.

Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Phương trình lượng giác cơ bản: sin, cos, tan để nắm các kiến thức nền liên quan.

Kiến thức cần nhớ

\(\sin x\) và \(\cos x\) có chu kỳ \(2\pi\), còn \(\tan x\) có chu kỳ \(\pi\).
Khi giải \(\sin x>a\) hoặc \(\cos x>a\), trước hết cần \(a\in[-1,1]\).
Nên tìm nghiệm trong một chu kỳ chuẩn rồi dịch theo chu kỳ.
Với tan, luôn loại các điểm \(x=\pi/2+k\pi\).

Các công thức chỉ hiệu quả khi dùng đúng điều kiện. Với bài có tham số, căn, mẫu, logarit hoặc lượng giác, nên ghi điều kiện ngay từ đầu thay vì bổ sung sau khi đã biến đổi.

Phương pháp giải theo từng bước

Đưa bất phương trình về dạng một hàm lượng giác so với hằng số.
Tìm các điểm biên bằng phương trình tương ứng.
Dùng đường tròn hoặc đồ thị để chọn cung/khoảng thỏa dấu.
Cộng chu kỳ và kiểm tra đầu mút theo dấu chặt hay không chặt.

Sau mỗi bước quan trọng, nên tự hỏi phép biến đổi có tương đương hay chỉ là điều kiện cần. Thói quen này đặc biệt hữu ích khi bình phương hai vế, nhân chia với biểu thức chưa biết dấu hoặc đặt ẩn phụ.

Ví dụ 1

Bài toán: Giải \(\sin x>1/2\).

Lời giải: Trong một chu kỳ, \(\sin x>1/2\) khi \(\pi/6

Ví dụ 2

Bài toán: Giải \(\cos x\le0\).

Lời giải: Cos không dương ở nửa trái đường tròn: \(\pi/2+2k\pi\le x\le3\pi/2+2k\pi\).

Lỗi thường gặp

Nhầm chu kỳ của tan với sin/cos.
Lấy sai đầu mút khi có dấu bằng.
Không kiểm tra điều kiện xác định của tan.

Nếu kết quả cuối là một khoảng nghiệm, một giá trị cực trị hoặc một số đo hình học, hãy kiểm tra nhanh bằng cách thế ngược, ước lượng hoặc đối chiếu với hình vẽ. Một bước kiểm tra ngắn thường phát hiện được lỗi dấu hoặc lỗi điều kiện.

Mẹo kiểm tra và trình bày

Vẽ một đường tròn nhỏ bên lề thường nhanh hơn nhớ công thức khoảng.
Nếu chỉ xét trên đoạn hữu hạn, tìm họ nghiệm trước rồi lọc theo đoạn.

Trong bài tự luận, nên viết đủ điều kiện, công thức được sử dụng và kết luận. Không nên thay toàn bộ lập luận bằng kết quả máy tính cầm tay hoặc hình vẽ phần mềm.

Bài tự luyện

Bài 1: Giải \(\cos x>\sqrt2/2\). Đáp án/Gợi ý: \(-\pi/4+2k\pi
Bài 2: Giải \(\tan x\ge1\). Đáp án/Gợi ý: Xét trong từng khoảng xác định có độ dài \(\pi\), bắt đầu từ nghiệm biên \(\pi/4\).

Học tiếp trong cùng chuyên đề

Bạn có thể xem thêm các bài trong Lượng giác THPT. Nên học bài P1 nền tảng trước, sau đó chuyển sang các dạng P2 để tăng khả năng nhận dạng và phối hợp phương pháp.