Giai đoạn 4 – Đầu học kì II: Nguyên hàm và tích phân
Khái niệm tích phân và ý nghĩa giúp học sinh lớp 12 nắm chắc phương pháp, luyện đúng dạng bài và trình bày lời giải theo chương trình Kết nối tri thức hiện hành.
Kiến thức cần ghi nhớ
- Nếu $F$ là nguyên hàm của $f$ trên đoạn $[a;b]$ thì $\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$.
- Khi $f(x)\ge0$ trên $[a;b]$, tích phân bằng diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị, trục hoành và hai đường $x=a,x=b$.
- Tích phân xác định là một số; hằng số $C$ của nguyên hàm bị triệt tiêu khi lấy hiệu hai đầu mút.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1
Tính $\int_0^2 x\,dx$.
Cách làm: Một nguyên hàm là $F(x)=\dfrac{x^2}{2}$. Do đó $\int_0^2x\,dx=F(2)-F(0)=2$.
Bài tập thực hành
Tự làm các bài dưới đây trước khi mở lời giải.
- Tính $\int_0^1 2x\,dx$.
- Tích phân xác định có cần cộng $C$ không?
- Nếu $f\ge0$, tích phân có ý nghĩa hình học gì?
- Tính $\int_1^1 f(x)dx$.
Bài tập về nhà
- Tính $\int_0^1 3x^2dx$.
- Tính $\int_0^\pi\sin x\,dx$.
- Nêu công thức Newton–Leibniz cơ bản.
Xem lời giải
Xem lời giải bài tập thực hành
- Cách làm: $[x^2]_0^1=1$.
- Cách làm: Không, vì hằng số triệt tiêu trong hiệu $F(b)-F(a)$.
- Cách làm: Là diện tích hình phẳng dưới đồ thị trên đoạn xét.
- Cách làm: $0$.
Xem lời giải bài tập về nhà
- Cách làm: $[x^3]_0^1=1$.
- Cách làm: $[-\cos x]_0^\pi=2$.
- Cách làm: $\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$ khi $F’=f$.
Gợi ý học: Tự giải trước, sau đó mở lời giải để đối chiếu phương pháp, công thức và cách trình bày.