Cấp số cộng là dãy có hiệu hai số hạng liên tiếp không đổi. Dạng bài thường xoay quanh số hạng tổng quát, tổng \(n\) số hạng đầu và nhận diện quy luật tăng đều trong thực tế.
Kiến thức cốt lõi cần nắm
- Định nghĩa: \(u_{n+1}=u_n+d\), trong đó \(d\) là công sai.
- Số hạng tổng quát: \(u_n=u_1+(n-1)d\).
- Tổng \(n\) số hạng đầu: \(S_n=\dfrac n2[2u_1+(n-1)d]=\dfrac n2(u_1+u_n)\).
- Nếu biết hai số hạng \(u_p,u_q\), ta có \(u_q-u_p=(q-p)d\) để tìm công sai nhanh.
Quy trình giải theo từng bước
- Xác định đâu là \(u_1\), đâu là công sai và chỉ số tương ứng.
- Dùng công thức số hạng khi đề hỏi một vị trí; dùng công thức tổng khi hỏi tổng tích lũy.
- Với bài thực tế, lập bảng vài mốc đầu để xác nhận cách đánh số.
- Kiểm tra đơn vị và ý nghĩa của \(n\), tránh lệch một bước.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1
Bài toán: Cho \(u_1=5,d=3\). Tính \(u_{20}\).
Lời giải: \(u_{20}=5+19\cdot3=62\).
Ví dụ 2
Bài toán: Hàng ghế đầu có 20 ghế, mỗi hàng sau nhiều hơn hàng trước 2 ghế. Có 15 hàng. Tính tổng số ghế.
Lời giải: Đây là CSC với \(u_1=20,d=2,u_{15}=48\). Tổng \(S_{15}=\dfrac{15}{2}(20+48)=510\) ghế.
Lỗi thường gặp và cách tránh
- Nhầm \(u_n=u_1+nd\); đúng là \(u_1+(n-1)d\).
- Dùng \(S_n=nu_n\) thay vì công thức tổng.
- Trong bài thực tế, lấy mốc ban đầu là \(n=0\) dù đề đánh hàng đầu là số 1.
- Kết luận là cấp số cộng chỉ vì “có vẻ tăng đều” mà không kiểm tra hiệu.
Bài tập tự luyện
-
\(u_1=2,d=5,u_{10}=?\)
Đáp số/Gợi ý: 47
-
\(u_3=8,u_7=20,d=?\)
Đáp số/Gợi ý: 3
-
\(u_1=4,d=2,S_{20}=?\)
Đáp số/Gợi ý: 460
-
Dãy 7, 4, 1, -2,… có \(d=?\)
Đáp số/Gợi ý: -3
Checklist trước khi kết luận
- Đã nhận đúng công sai d và số hạng đầu trước khi dùng công thức cấp số cộng?
- Trong công thức tổng, số lượng số hạng n đã được xác định đúng từ dữ kiện?
- Bài toán thực tế đã gắn đúng mốc thời gian với u1, u2 hoặc u0 theo cách đặt của đề?
Cùng mạch dãy đặc biệt, xem thêm cấp số nhân và các bài toán tăng theo tỉ lệ.
Xem thêm các bài cùng nhóm Dãy số – Giới hạn – Liên tục.