Dãy truy hồi không cho trực tiếp \(u_n\) mà cho quan hệ giữa các số hạng. Cách làm tốt là tách hai nhiệm vụ: tính các số hạng cụ thể và chứng minh tính chất bằng quy nạp hoặc biến đổi truy hồi.
Kiến thức cốt lõi cần nắm
- Dãy bậc nhất thường có dạng \(u_{n+1}=au_n+b\) kèm số hạng đầu.
- Muốn tính \(u_4\), phải đi lần lượt từ \(u_1\) đến \(u_2,u_3,u_4\), trừ khi đã tìm được công thức tổng quát.
- Với \(u_{n+1}=au_n+b\), điểm cố định \(L\) thỏa \(L=aL+b\) giúp đặt \(v_n=u_n-L\), từ đó có thể đưa về cấp số nhân.
- Quy nạp toán học phù hợp để chứng minh dương, bị chặn hoặc một bất đẳng thức đúng với mọi \(n\).
Điểm quan trọng là không tách công thức khỏi điều kiện áp dụng. Khi gặp bài mới, hãy xác định cấu trúc trước rồi mới chọn công cụ; cách này giúp giảm đáng kể các lỗi biến đổi theo thói quen.
Quy trình giải theo từng bước
- Tính 3–4 số hạng đầu để hiểu truy hồi.
- Nếu cần công thức tổng quát, tìm điểm cố định hoặc nhận dạng cấp số.
- Nếu chứng minh tính chất, viết giả thiết quy nạp và dùng truy hồi để chuyển từ \(n\) sang \(n+1\).
- Kiểm tra điều kiện khởi đầu của quy nạp.
Nếu bài có nhiều dữ kiện, nên ghi các điều kiện ở đầu lời giải. Sau mỗi phép biến đổi có thể làm thay đổi miền nghiệm hoặc miền xác định, cần đánh dấu để đối chiếu ở cuối.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1
Bài toán: Cho \(u_1=2, u_{n+1}=2u_n+1\). Tính \(u_4\).
Lời giải: \(u_2=5, u_3=11, u_4=23\).
Ví dụ 2
Bài toán: Tìm công thức tổng quát của dãy trên.
Lời giải: Điểm cố định thỏa \(L=2L+1\Rightarrow L=-1\). Đặt \(v_n=u_n+1\), ta có \(v_{n+1}=2v_n\), \(v_1=3\). Do đó \(v_n=3\cdot2^{n-1}\), suy ra \(u_n=3\cdot2^{n-1}-1\).
Lỗi thường gặp và cách tránh
- Dùng truy hồi nhưng bỏ quên số hạng đầu.
- Tìm được công thức dự đoán từ vài số hạng nhưng không chứng minh.
- Khi đặt dãy phụ, chọn sai điểm cố định.
- Quy nạp nhưng không kiểm tra bước cơ sở.
Một cách tự kiểm tra hiệu quả là thử lại kết quả bằng dữ kiện ban đầu hoặc bằng một cách nhìn thứ hai như đồ thị, dấu của biểu thức hay tính chất hình học. Máy tính cầm tay chỉ nên dùng để kiểm tra số gần đúng, không thay thế bước lập luận khi đề yêu cầu lời giải.
Bài tập tự luyện
-
\(u_1=1,u_{n+1}=u_n+3\), tính \(u_5\)
Đáp số/Gợi ý: 13
-
Dãy trên là cấp số gì?
Đáp số/Gợi ý: Cấp số cộng, công sai 3
-
\(u_1=2,u_{n+1}=3u_n\), công thức \(u_n\)
Đáp số/Gợi ý: \(2\cdot3^{n-1}\)
-
\(u_1=0,u_{n+1}=u_n+2n+1\), tính \(u_3\)
Đáp số/Gợi ý: 9
Checklist trước khi kết luận
- Đã ghi đủ điều kiện xác định hoặc điều kiện của biến chưa?
- Công thức đang dùng có đúng dạng và đúng điều kiện không?
- Có phép chia, bình phương, lấy log hoặc đổi biến nào có thể sinh/mất nghiệm không?
- Kết quả cuối đã đúng đơn vị, đúng miền và đúng yêu cầu “chính xác” hay “gần đúng” của đề chưa?
Xem thêm các bài cùng nhóm Dãy số – Giới hạn – Liên tục để luyện theo dạng thay vì học rời từng công thức.