Đạo hàm cấp hai là đạo hàm của đạo hàm bậc nhất. Trong chuyển động, nếu đạo hàm bậc nhất của vị trí là vận tốc thì đạo hàm cấp hai là gia tốc.
Mục tiêu bài học
- Hiểu định nghĩa đạo hàm cấp hai và kí hiệu.
- Tính được $f”(x)$ cho các hàm cơ bản.
- Giải thích ý nghĩa cơ học: vận tốc và gia tốc tức thời.
Kiến thức trọng tâm
Định nghĩa
Nếu $f'(x)$ có đạo hàm thì đạo hàm của $f’$ được gọi là đạo hàm cấp hai của $f$, kí hiệu $f”(x)$ hoặc $y”$.
Cách tính
Tính đạo hàm lần thứ nhất rồi tiếp tục lấy đạo hàm một lần nữa. Ví dụ $f(x)=x^3$ thì $f'(x)=3x^2$ và $f”(x)=6x$.
Đạo hàm cấp cao
Tương tự có thể định nghĩa $f^{(n)}$ bằng cách lấy đạo hàm liên tiếp khi các đạo hàm cần thiết tồn tại.
Ý nghĩa cơ học
Nếu $s(t)$ là vị trí theo thời gian, $v(t)=s'(t)$ là vận tốc và $a(t)=v'(t)=s”(t)$ là gia tốc tức thời. Đơn vị gia tốc là đơn vị độ dài chia cho bình phương đơn vị thời gian.
Ví dụ minh họa
Cho $s(t)=t^3-3t^2+2t$ (m). Khi đó $v(t)=3t^2-6t+2$ và $a(t)=6t-6$. Tại $t=2$, gia tốc là $a(2)=6\,m/s^2$.
Bài tập tự luyện
- Tính đạo hàm cấp hai của $y=x^4$.
- Với $y=\sin x$, tính $y”$.
- Nếu $s(t)=5t^2$, tính gia tốc.
Xem đáp án nhanh
- $y”=12x^2$.
- $y”=-\sin x$.
- $a(t)=10$.
Lỗi thường gặp
- Tính lại từ hàm ban đầu thay vì lấy đạo hàm của $f’$.
- Nhầm $f”$ với $(f’)^2$.
- Nhầm đơn vị vận tốc với đơn vị gia tốc.
Ghi nhớ
Hãy ưu tiên hiểu định nghĩa và điều kiện áp dụng trước khi ghi nhớ công thức. Sau mỗi phép biến đổi, kiểm tra lại điều kiện và tính hợp lí của kết quả.
Xem toàn bộ nội dung trong Chương 9. Đạo hàm hoặc Lý thuyết Toán lớp 11 KNTT.