Cấp số nhân là dãy mà mỗi số hạng sau bằng số hạng trước nhân với một hằng số. Công bội quyết định tốc độ tăng, giảm và dấu của dãy.
Mục tiêu bài học
- Nhận biết cấp số nhân và công bội.
- Tính số hạng tổng quát.
- Tính tổng $n$ số hạng đầu trong trường hợp $q\ne1$.
Kiến thức trọng tâm
Định nghĩa
$(u_n)$ là cấp số nhân nếu $u_{n+1}=q u_n$, trong đó $q$ là hằng số gọi là công bội.
Số hạng tổng quát
$u_n=u_1q^{n-1}$. Khi $u_m\ne0$, có thể dùng $\dfrac{u_n}{u_m}=q^{n-m}$.
Tổng các số hạng đầu
Nếu $q\ne1$, $S_n=u_1\dfrac{1-q^n}{1-q}$. Nếu $q=1$, $S_n=nu_1$.
Tính chất
Với các số hạng khác 0, $u_k^2=u_{k-1}u_{k+1}$. Công bội âm làm dấu các số hạng luân phiên nếu $u_1\ne0$.
Ví dụ minh họa
Cấp số nhân $2,6,18,\ldots$ có $q=3$. $u_8=2\cdot3^7=4374$ và $S_8=2\dfrac{1-3^8}{1-3}=6560$.
Bài tập tự luyện
- Cho $u_1=5,q=2$. Tính $u_6$.
- Biết $u_2=6,u_5=162$ và $q>0$. Tìm $q$.
- Tính $1+\dfrac12+\dfrac14+\cdots+\dfrac1{32}$.
Xem đáp án nhanh
- $u_6=160$.
- $q=3$.
- $S_6=\dfrac{63}{32}$.
Lỗi thường gặp
- Nhầm số mũ $n-1$ thành $n$.
- Dùng công thức tổng với $q=1$ mà không tách trường hợp.
- Nhầm cấp số nhân với cấp số cộng khi chỉ nhìn vài số hạng.
Ghi nhớ
Hãy ưu tiên hiểu định nghĩa và điều kiện áp dụng trước khi ghi nhớ công thức. Sau mỗi phép biến đổi, kiểm tra lại điều kiện và tính hợp lí của kết quả.
Xem toàn bộ nội dung trong Chương 2. Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân hoặc Lý thuyết Toán lớp 11 KNTT.