Nhị thức Newton biến lũy thừa của tổng thành một tổng các số hạng có hệ số tổ hợp. Dạng thi phổ biến là tìm hệ số của một lũy thừa, số hạng không chứa biến hoặc số hạng có số mũ cho trước.
Kiến thức cốt lõi cần nắm
- \((a+b)^n=\sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k}b^k\).
- Số hạng tổng quát theo chỉ số \(k\): \(T_{k+1}=C_n^k a^{n-k}b^k\).
- Nếu \(a,b\) chứa biến \(x\), hãy gom số mũ của \(x\) trong \(T_{k+1}\) rồi giải điều kiện theo \(k\).
- Hệ số của một số hạng là phần số còn lại sau khi tách đúng lũy thừa biến cần tìm.
Quy trình giải theo từng bước
- Viết số hạng tổng quát với \(k=0,1,\dots,n\).
- Rút gọn lũy thừa của biến trong số hạng tổng quát.
- Đặt số mũ bằng yêu cầu của đề và giải \(k\).
- Kiểm tra \(k\) nguyên trong đoạn \([0,n]\), rồi tính hệ số.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1
Bài toán: Tìm hệ số của \(x^3\) trong \((1+x)^5\).
Lời giải: Số hạng chứa \(x^3\) ứng với \(k=3\), hệ số là \(C_5^3=10\).
Ví dụ 2
Bài toán: Tìm số hạng không chứa \(x\) trong \(\left(x^2+\dfrac1x\right)^6\).
Lời giải: Số hạng tổng quát có lũy thừa \(x^{2(6-k)-k}=x^{12-3k}\). Không chứa \(x\) khi \(12-3k=0\Rightarrow k=4\). Hệ số là \(C_6^4=15\).
Lỗi thường gặp và cách tránh
- Nhầm \(T_k\) với \(T_{k+1}\) nên lệch chỉ số.
- Quên hệ số đi kèm trong \(a,b\), chỉ xét số mũ.
- Giải được \(k\) không nguyên vẫn cố nhận.
- Dùng \(C_n^k\) nhưng nhầm số mũ của \(a\) và \(b\).
Bài tập tự luyện
-
Hệ số \(x^2\) trong \((1+x)^4\)
Đáp số/Gợi ý: 6
-
Hệ số \(x^5\) trong \((2+x)^5\)
Đáp số/Gợi ý: 1
-
Số hạng giữa của \((a+b)^6\)
Đáp số/Gợi ý: Số hạng thứ 4
-
Tổng các hệ số của \((1+x)^n\)
Đáp số/Gợi ý: \(2^n\)
Checklist trước khi kết luận
- Đã xác định đúng số hạng tổng quát của khai triển trước khi đặt điều kiện cho số mũ?
- Chỉ số k tìm được có là số nguyên và nằm trong khoảng từ 0 đến n?
- Hệ số cuối đã gồm đầy đủ hệ số nhị thức và các lũy thừa của các hạng ban đầu?
Việc chọn hệ số trong khai triển liên quan chặt với tổ hợp và hệ số nhị thức.
Xem thêm các bài cùng nhóm Tổ hợp – Xác suất – Thống kê.