Giai đoạn 4 – Cuối học kì I: Giới hạn và hàm số liên tục
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn giúp học sinh lớp 11 nắm chắc kiến thức, hiểu phương pháp qua ví dụ và luyện tập theo chương trình Kết nối tri thức hiện hành.
Kiến thức cần ghi nhớ
- Cấp số nhân lùi vô hạn có $|q|<1$ nên các số hạng tiến về 0.
- Tổng vô hạn: $S=u_1+u_1q+u_1q^2+\cdots=\dfrac{u_1}{1-q}$.
- Chỉ áp dụng công thức tổng vô hạn khi $|q|<1$.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1
Tính $1+\dfrac12+\dfrac14+\cdots$.
Cách làm: $u_1=1,q=\dfrac12$, nên $S=\dfrac{1}{1-1/2}=2$.
Bài tập thực hành
Tự làm các bài dưới đây trước khi mở lời giải.
- Tính $3+1+\dfrac13+\cdots$.
- Dãy có $q=2$ có dùng công thức tổng lùi vô hạn không?
- Tính $2-1+\dfrac12-\dfrac14+\cdots$.
- Điều kiện hội tụ của tổng CSN vô hạn là gì?
Bài tập về nhà
- Tính $5+1+\dfrac15+\cdots$.
- Tính $1-\dfrac13+\dfrac19-\cdots$.
- Với $u_1=4,q=0{,}25$, tính tổng vô hạn.
Xem lời giải
Xem lời giải bài tập thực hành
- Cách làm: $u_1=3,q=\dfrac13$, nên $S=\dfrac{3}{1-1/3}=\dfrac92$.
- Cách làm: Không vì $|q|>1$.
- Cách làm: $u_1=2,q=-\dfrac12$, nên $S=\dfrac{2}{1+1/2}=\dfrac43$.
- Cách làm: $|q|<1$.
Xem lời giải bài tập về nhà
- Cách làm: $q=\dfrac15$, $S=\dfrac{5}{1-1/5}=\dfrac{25}{4}$.
- Cách làm: $S=\dfrac{1}{1+1/3}=\dfrac34$.
- Cách làm: $S=\dfrac4{0{,}75}=\dfrac{16}{3}$.
Gợi ý học: Hãy tự làm trước, sau đó mở lời giải để đối chiếu phương pháp và cách trình bày.