Bài toán đếm THCS thường không đòi hỏi công thức tổ hợp phức tạp. Phần quan trọng nhất là chia trường hợp không trùng nhau, xác định đúng số lựa chọn ở từng bước và biết khi nào nên dùng phần bù.
Phạm vi: Đây là nội dung bồi dưỡng Toán THCS. Quy tắc cộng và quy tắc nhân được học chính thức trong chương trình Toán 10; ở đây chỉ dùng như công cụ đếm sơ cấp cho bài HSG/thi chuyên THCS.
1. Quy tắc cộng
Nếu một công việc có thể thực hiện theo một trong các phương án loại trừ nhau, phương án thứ nhất có \(m\) cách và phương án thứ hai có \(n\) cách, thì tổng số cách là \(m+n\).
Điều kiện “loại trừ nhau” rất quan trọng. Nếu một kết quả bị tính ở cả hai trường hợp, ta sẽ đếm lặp.
2. Quy tắc nhân
Nếu một lựa chọn gồm nhiều bước liên tiếp, bước 1 có \(m\) cách và với mỗi cách ở bước 1, bước 2 có \(n\) cách, thì có \(mn\) cách thực hiện cả hai bước.
Ví dụ. Có 3 áo và 4 quần. Chọn một áo và một quần có \(3\cdot4=12\) cách.
3. Ví dụ 1: lập số không lặp chữ số
Dùng các chữ số \(1,2,3,4\) lập số có 3 chữ số khác nhau.
Hàng trăm có 4 cách chọn; sau đó hàng chục còn 3 cách; hàng đơn vị còn 2 cách. Vậy có
\(4\cdot3\cdot2=24\)
số.
4. Ví dụ 2: chữ số 0 làm thay đổi cách đếm
Bài toán. Từ các chữ số \(0,1,2,3,4,5\), lập bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau?
Ta chia theo chữ số hàng đơn vị.
Trường hợp 1: hàng đơn vị là 0. Hàng trăm có 5 cách chọn từ \(1,2,3,4,5\), hàng chục còn 4 cách. Có \(5\cdot4=20\) số.
Trường hợp 2: hàng đơn vị là 2 hoặc 4. Có 2 cách chọn hàng đơn vị. Hàng trăm phải khác 0 và khác chữ số đã chọn nên có 4 cách. Hàng chục còn 4 cách. Có \(2\cdot4\cdot4=32\) số.
Tổng cộng \(20+32=52\) số.
Ví dụ này cho thấy không thể máy móc nhân số lựa chọn khi chữ số 0 bị cấm ở hàng đầu.
5. Phương pháp phần bù
Nếu điều kiện “ít nhất một” khó đếm trực tiếp, có thể dùng phương pháp phần bù: số cần tìm bằng tổng số trường hợp trừ số trường hợp không thỏa điều kiện.
Ví dụ. Có bao nhiêu số có 3 chữ số có ít nhất hai chữ số bằng nhau?
Có tổng cộng 900 số từ 100 đến 999. Số có ba chữ số đôi một khác nhau là
\(9\cdot9\cdot8=648.\)
Vậy số có ít nhất hai chữ số bằng nhau là \(900-648=252\).
6. Chia trường hợp thế nào để không đếm lặp?
Mỗi trường hợp phải có một dấu hiệu phân biệt rõ ràng, ví dụ:
- chia theo chữ số cuối;
- chia theo số phần tử được chọn từ từng nhóm;
- chia theo vị trí của một phần tử đặc biệt;
- chia theo chẵn/lẻ hoặc số dư.
Sau khi chia, tự hỏi: một kết quả có thể rơi vào hai trường hợp không? Nếu có, cần chia lại.
7. Đếm theo hai cách
Một số bài HSG chứng minh đẳng thức bằng cách đếm cùng một tập đối tượng theo hai phương án khác nhau. Khi hai cách đều đếm đúng cùng một tập, các biểu thức thu được phải bằng nhau. Đây là nền tảng của nhiều đẳng thức tổ hợp, nhưng ở THCS nên bắt đầu bằng các bài đếm số cặp, số đoạn hoặc số lần xuất hiện.
8. Bài tập tự luyện
- Từ 5 chữ số \(1,2,3,4,5\), lập bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau?
- Từ \(0,1,2,3,4\), lập bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số khác nhau?
- Có bao nhiêu số có 3 chữ số mà ba chữ số đôi một khác nhau?
- Có 4 tuyến xe buýt đi từ A đến B và 3 tuyến từ B đến C. Có bao nhiêu cách chọn một hành trình A → B → C?
Đáp số: 120; 18; 648; 12.