Bất phương trình bậc hai là nền tảng cho nhiều bài về hàm số, tham số, logarit và đạo hàm. Cách làm ổn định nhất là đưa về một vế, tìm nghiệm của tam thức rồi xét dấu theo hệ số đầu.
Trước khi xét dấu tam thức, nên nắm chắc phương trình bậc hai và cách biện luận số nghiệm để xác định đúng số nghiệm, nghiệm kép và các mốc đổi dấu.
Kiến thức cần nhớ
- Tam thức \(f(x)=ax^2+bx+c\), \(a\ne0\), có dấu phụ thuộc vào số nghiệm và dấu của \(a\).
- Nếu có hai nghiệm \(x_1\lt x_2\), tam thức cùng dấu với \(a\) ở ngoài khoảng \((x_1,x_2)\) và trái dấu với \(a\) ở giữa.
- Nếu có nghiệm kép \(x_0\), tam thức cùng dấu với \(a\) và bằng 0 tại \(x_0\).
- Nếu vô nghiệm thực, tam thức luôn cùng dấu với \(a\).
Phương pháp giải theo từng bước
- Chuyển tất cả về một vế để được \(f(x)\gtrless0\).
- Giải phương trình \(f(x)=0\) để tìm các mốc.
- Lập trục xét dấu theo thứ tự các nghiệm.
- Chọn khoảng nghiệm theo dấu bất phương trình và chú ý dấu bằng.
Ví dụ 1
Bài toán: Giải \(x^2-5x+6\lt 0\).
Lời giải: Ta có \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\). Hệ số đầu dương nên biểu thức âm giữa hai nghiệm. Nghiệm là \(2\lt x\lt 3\).
Ví dụ 2
Bài toán: Giải \(-x^2+4x-3\ge0\).
Lời giải: Nhân cả hai vế với \(-1\) và đổi chiều: \(x^2-4x+3\le0\). Hai nghiệm 1 và 3, hệ số đầu dương nên nghiệm là \([1,3]\).
Lỗi thường gặp
- Nhân hoặc chia bất phương trình với số âm nhưng quên đổi chiều.
- Không sắp thứ tự hai nghiệm trước khi xét dấu.
- Quên lấy đầu mút khi bất phương trình có dấu \(\le\) hoặc \(\ge\).
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Có thể kiểm tra nhanh bằng cách thế một số nằm giữa hai nghiệm.
- Với tam thức đã phân tích thành nhân tử, bảng dấu thường nhanh hơn tính biệt thức.
Bài tự luyện
- Bài 1: Giải \(2x^2-7x+3>0\). Đáp án/Gợi ý: Nghiệm phương trình là \(1/2\) và 3; lấy phía ngoài: \(( -\infty,1/2)\cup(3,+\infty)\).
- Bài 2: Giải \(x^2+2x+5\le0\). Đáp án/Gợi ý: Vô nghiệm vì tam thức luôn dương.
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Đại số & Hàm số THPT.