Bất phương trình bậc hai: bảng xét dấu và cách giải theo từng dạng

Bất phương trình bậc hai là nền tảng cho nhiều bài về hàm số, tham số, logarit và đạo hàm. Cách làm ổn định nhất là đưa về một vế, tìm nghiệm của tam thức rồi xét dấu theo hệ số đầu.

Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Phương pháp xác định tập xác định của hàm số THPT để nắm các kiến thức nền liên quan.

Kiến thức cần nhớ

Tam thức \(f(x)=ax^2+bx+c\), \(a\ne0\), có dấu phụ thuộc vào số nghiệm và dấu của \(a\).
Nếu có hai nghiệm \(x_1
Nếu có nghiệm kép \(x_0\), tam thức cùng dấu với \(a\) và bằng 0 tại \(x_0\).
Nếu vô nghiệm thực, tam thức luôn cùng dấu với \(a\).

Các công thức chỉ hiệu quả khi dùng đúng điều kiện. Với bài có tham số, căn, mẫu, logarit hoặc lượng giác, nên ghi điều kiện ngay từ đầu thay vì bổ sung sau khi đã biến đổi.

Phương pháp giải theo từng bước

Chuyển tất cả về một vế để được \(f(x)\gtrless0\).
Giải phương trình \(f(x)=0\) để tìm các mốc.
Lập trục xét dấu theo thứ tự các nghiệm.
Chọn khoảng nghiệm theo dấu bất phương trình và chú ý dấu bằng.

Sau mỗi bước quan trọng, nên tự hỏi phép biến đổi có tương đương hay chỉ là điều kiện cần. Thói quen này đặc biệt hữu ích khi bình phương hai vế, nhân chia với biểu thức chưa biết dấu hoặc đặt ẩn phụ.

Ví dụ 1

Bài toán: Giải \(x^2-5x+6<0\).

Lời giải: Ta có \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\). Hệ số đầu dương nên biểu thức âm giữa hai nghiệm. Nghiệm là \(2

Ví dụ 2

Bài toán: Giải \(-x^2+4x-3\ge0\).

Lời giải: Nhân cả hai vế với \(-1\) và đổi chiều: \(x^2-4x+3\le0\). Hai nghiệm 1 và 3, hệ số đầu dương nên nghiệm là \([1,3]\).

Lỗi thường gặp

Nhân hoặc chia bất phương trình với số âm nhưng quên đổi chiều.
Không sắp thứ tự hai nghiệm trước khi xét dấu.
Quên lấy đầu mút khi bất phương trình có dấu \(\le\) hoặc \(\ge\).

Nếu kết quả cuối là một khoảng nghiệm, một giá trị cực trị hoặc một số đo hình học, hãy kiểm tra nhanh bằng cách thế ngược, ước lượng hoặc đối chiếu với hình vẽ. Một bước kiểm tra ngắn thường phát hiện được lỗi dấu hoặc lỗi điều kiện.

Mẹo kiểm tra và trình bày

Có thể kiểm tra nhanh bằng cách thế một số nằm giữa hai nghiệm.
Với tam thức đã phân tích thành nhân tử, bảng dấu thường nhanh hơn tính biệt thức.

Trong bài tự luận, nên viết đủ điều kiện, công thức được sử dụng và kết luận. Không nên thay toàn bộ lập luận bằng kết quả máy tính cầm tay hoặc hình vẽ phần mềm.

Bài tự luyện

Bài 1: Giải \(2x^2-7x+3>0\). Đáp án/Gợi ý: Nghiệm phương trình là \(1/2\) và 3; lấy phía ngoài: \(( -\infty,1/2)\cup(3,+\infty)\).
Bài 2: Giải \(x^2+2x+5\le0\). Đáp án/Gợi ý: Vô nghiệm vì tam thức luôn dương.

Học tiếp trong cùng chuyên đề

Bạn có thể xem thêm các bài trong Đại số & Hàm số THPT. Nên học bài P1 nền tảng trước, sau đó chuyển sang các dạng P2 để tăng khả năng nhận dạng và phối hợp phương pháp.