Tích vô hướng nối đại số tọa độ với góc giữa hai hướng. Nó đặc biệt hữu ích để kiểm tra vuông góc, tính góc và suy ra độ dài qua các đẳng thức vectơ.
Kiến thức cốt lõi cần nắm
- \(\vec u\cdot\vec v=|\vec u||\vec v|\cos\theta\).
- Trong Oxy, với \(\vec u=(a,b),\vec v=(c,d)\), ta có \(\vec u\cdot\vec v=ac+bd\).
- Hai vectơ khác 0 vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng bằng 0.
- Góc giữa hai vectơ thỏa \(\cos\theta=\frac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u||\vec v|}\), với \(0\le\theta\le\pi\).
Điểm quan trọng là không tách công thức khỏi điều kiện áp dụng. Khi gặp bài mới, hãy xác định cấu trúc trước rồi mới chọn công cụ; cách này giúp giảm đáng kể các lỗi biến đổi theo thói quen.
Quy trình giải theo từng bước
- Viết tọa độ hai vectơ theo cùng hệ trục.
- Tính tích vô hướng và độ dài từng vectơ.
- Nếu hỏi vuông góc, chỉ cần kiểm tra tích vô hướng bằng 0.
- Nếu hỏi góc, tính cos rồi chọn góc trong đoạn \([0,\pi]\).
Nếu bài có nhiều dữ kiện, nên ghi các điều kiện ở đầu lời giải. Sau mỗi phép biến đổi có thể làm thay đổi miền nghiệm hoặc miền xác định, cần đánh dấu để đối chiếu ở cuối.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1
Bài toán: Cho \(\vec u=(1,2),\vec v=(2,-1)\). Hai vectơ có vuông góc không?
Lời giải: \(\vec u\cdot\vec v=1\cdot2+2(-1)=0\), nên vuông góc.
Ví dụ 2
Bài toán: Cho \(\vec u=(1,0),\vec v=(1,1)\). Tính góc.
Lời giải: \(\cos\theta=1/(1\cdot\sqrt2)=\sqrt2/2\), nên \(\theta=45^\circ\).
Lỗi thường gặp và cách tránh
- Dùng tích có hướng thay cho tích vô hướng trong bài Oxy cơ bản.
- Quên chia cho tích độ dài khi tính cos góc.
- Nhận góc \(315^\circ\) trong khi góc giữa hai vectơ được lấy từ 0 đến 180 độ.
- Kết luận vuông góc khi một trong hai “vectơ” là vectơ 0 mà không xét ngữ nghĩa hình học.
Một cách tự kiểm tra hiệu quả là thử lại kết quả bằng dữ kiện ban đầu hoặc bằng một cách nhìn thứ hai như đồ thị, dấu của biểu thức hay tính chất hình học. Máy tính cầm tay chỉ nên dùng để kiểm tra số gần đúng, không thay thế bước lập luận khi đề yêu cầu lời giải.
Bài tập tự luyện
-
\((3,4)\cdot(4,-3)\)
Đáp số/Gợi ý: 0
-
Góc giữa \((1,0)\) và \((0,1)\)
Đáp số/Gợi ý: 90°
-
Độ dài \((5,12)\)
Đáp số/Gợi ý: 13
-
\((1,1)\cdot(1,1)\)
Đáp số/Gợi ý: 2
Checklist trước khi kết luận
- Đã ghi đủ điều kiện xác định hoặc điều kiện của biến chưa?
- Công thức đang dùng có đúng dạng và đúng điều kiện không?
- Có phép chia, bình phương, lấy log hoặc đổi biến nào có thể sinh/mất nghiệm không?
- Kết quả cuối đã đúng đơn vị, đúng miền và đúng yêu cầu “chính xác” hay “gần đúng” của đề chưa?
Xem thêm các bài cùng nhóm Vectơ – Tọa độ Oxy để luyện theo dạng thay vì học rời từng công thức.