Hệ đối xứng theo x, y thường giữ nguyên khi đổi chỗ hai ẩn. Khi đó hai đại lượng \(S=x+y\) và \(P=xy\) giúp biến hệ hai ẩn thành bài đại số theo tổng, tích rồi khôi phục x, y bằng phương trình bậc hai.
Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Chuyên đề bất đẳng thức THPT để nắm các kiến thức nền liên quan.
Kiến thức cần nhớ
- Các biểu thức đối xứng cơ bản: \(x^2+y^2=S^2-2P\), \(x^3+y^3=S^3-3PS\).
- Nếu biết S, P thì x, y là nghiệm của \(t^2-St+P=0\).
- Để x, y thực cần \(S^2-4P\ge0\).
- Sau khi tìm cặp \(S,P\), phải giải phương trình khôi phục và kiểm tra hệ gốc.
Các công thức chỉ hiệu quả khi dùng đúng điều kiện. Với bài có tham số, căn, mẫu, logarit hoặc lượng giác, nên ghi điều kiện ngay từ đầu thay vì bổ sung sau khi đã biến đổi.
Phương pháp giải theo từng bước
- Nhận dạng tính đối xứng khi đổi x và y.
- Đặt \(S=x+y,P=xy\).
- Biến đổi hệ thành phương trình theo S, P.
- Tìm S, P rồi giải \(t^2-St+P=0\) để lấy x, y.
Sau mỗi bước quan trọng, nên tự hỏi phép biến đổi có tương đương hay chỉ là điều kiện cần. Thói quen này đặc biệt hữu ích khi bình phương hai vế, nhân chia với biểu thức chưa biết dấu hoặc đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1
Bài toán: Giải hệ \(x+y=5,xy=6\).
Lời giải: x, y là nghiệm của \(t^2-5t+6=0\), nên \(t=2,3\). Các cặp là \((2,3),(3,2)\).
Ví dụ 2
Bài toán: Biết \(x+y=4,x^2+y^2=10\). Tìm xy.
Lời giải: \(10=16-2P\), nên \(P=3\). Khi đó x, y là nghiệm \(t^2-4t+3=0\).
Lỗi thường gặp
- Tìm được S, P rồi dừng.
- Quên điều kiện biệt thức khi khôi phục nghiệm thực.
- Áp dụng đặt S, P cho hệ không có cấu trúc đối xứng phù hợp.
Nếu kết quả cuối là một khoảng nghiệm, một giá trị cực trị hoặc một số đo hình học, hãy kiểm tra nhanh bằng cách thế ngược, ước lượng hoặc đối chiếu với hình vẽ. Một bước kiểm tra ngắn thường phát hiện được lỗi dấu hoặc lỗi điều kiện.
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Viết sẵn ba công thức đối xứng thường dùng ở lề bài.
- Luôn quay lại kiểm tra cặp nghiệm trong hệ gốc nếu biến đổi có bước nâng lũy thừa.
Trong bài tự luận, nên viết đủ điều kiện, công thức được sử dụng và kết luận. Không nên thay toàn bộ lập luận bằng kết quả máy tính cầm tay hoặc hình vẽ phần mềm.
Bài tự luyện
- Bài 1: x+y=7, xy=10. Tìm x,y. Đáp án/Gợi ý: 2 và 5 theo hai thứ tự.
- Bài 2: x+y=2, x^2+y^2=8. Tìm xy. Đáp án/Gợi ý: P=-2.
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Học sinh giỏi & Toán nâng cao. Nên học bài P1 nền tảng trước, sau đó chuyển sang các dạng P2 để tăng khả năng nhận dạng và phối hợp phương pháp.