Hệ đối xứng theo x, y thường giữ nguyên khi đổi chỗ hai ẩn. Khi đó hai đại lượng \(S=x+y\) và \(P=xy\) giúp biến hệ hai ẩn thành bài đại số theo tổng, tích rồi khôi phục x, y bằng phương trình bậc hai.
Phép đặt \(S=x+y,\ P=xy\) gắn trực tiếp với quan hệ nghiệm – hệ số; bạn nên xem lại đa thức nâng cao và quan hệ nghiệm – hệ số trước khi giải các hệ đối xứng phức tạp.
Kiến thức cần nhớ
- Các biểu thức đối xứng cơ bản: \(x^2+y^2=S^2-2P\), \(x^3+y^3=S^3-3PS\).
- Nếu biết S, P thì x, y là nghiệm của \(t^2-St+P=0\).
- Để x, y thực cần \(S^2-4P\ge0\).
- Sau khi tìm cặp \(S,P\), phải giải phương trình khôi phục và kiểm tra hệ gốc.
Phương pháp giải theo từng bước
- Nhận dạng tính đối xứng khi đổi x và y.
- Đặt \(S=x+y,P=xy\).
- Biến đổi hệ thành phương trình theo S, P.
- Tìm S, P rồi giải \(t^2-St+P=0\) để lấy x, y.
Ví dụ 1
Bài toán: Giải hệ \(x+y=5,xy=6\).
Lời giải: x, y là nghiệm của \(t^2-5t+6=0\), nên \(t=2,3\). Các cặp là \((2,3),(3,2)\).
Ví dụ 2
Bài toán: Biết \(x+y=4,x^2+y^2=10\). Tìm xy.
Lời giải: \(10=16-2P\), nên \(P=3\). Khi đó x, y là nghiệm \(t^2-4t+3=0\).
Lỗi thường gặp
- Tìm được S, P rồi dừng.
- Quên điều kiện biệt thức khi khôi phục nghiệm thực.
- Áp dụng đặt S, P cho hệ không có cấu trúc đối xứng phù hợp.
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Viết sẵn ba công thức đối xứng thường dùng ở lề bài.
- Luôn quay lại kiểm tra cặp nghiệm trong hệ gốc nếu biến đổi có bước nâng lũy thừa.
Bài tự luyện
- Bài 1: x+y=7, xy=10. Tìm x,y. Đáp án/Gợi ý: 2 và 5 theo hai thứ tự.
- Bài 2: x+y=2, x^2+y^2=8. Tìm xy. Đáp án/Gợi ý: P=-2.
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Học sinh giỏi & Toán nâng cao.