Tích phân cho phép tính chính xác diện tích hình phẳng có biên cong và thể tích của một số vật thể. Trước khi đặt tích phân, cần xác định đúng miền giới hạn và thứ tự các đường biên.
1. Diện tích hình phẳng
Diện tích giới hạn bởi đồ thị \(y=f(x)\), trục \(Ox\) và hai đường \(x=a,x=b\):
\[S=\int_a^b |f(x)|\,dx.\]
Nếu miền nằm giữa hai đồ thị \(y=f(x)\), \(y=g(x)\):
\[S=\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx.\]
Phải tìm giao điểm để chia đoạn nếu thứ tự đồ thị trên–dưới thay đổi.
2. Thể tích vật thể
Nếu thiết diện vuông góc trục \(Ox\) tại vị trí \(x\) có diện tích \(A(x)\), thể tích là:
\[V=\int_a^b A(x)\,dx.\]
Đặc biệt, khi quay miền dưới \(y=f(x)\ge0\) quanh trục \(Ox\): \(V=\pi\int_a^b[f(x)]^2dx\).
3. Ví dụ
Hai đồ thị \(y=x\) và \(y=x^2\) cắt nhau tại \(x=0,1\). Trên \([0,1]\), \(x\ge x^2\), nên:
\[S=\int_0^1(x-x^2)dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac16.\]
Ghi nhớ: hình vẽ phác thảo trước khi lập tích phân giúp tránh sai dấu và sai cận.
Xem thêm: Lý thuyết Toán 12 Kết nối tri thức – Chương 4 · Lý thuyết Toán lớp 12.