Góc giữa hai mặt phẳng được đưa về góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm. Việc chọn mặt phẳng phụ vuông góc giao tuyến giúp biến bài không gian thành bài tam giác phẳng.
Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Quan hệ vuông góc trong không gian để nắm các kiến thức nền liên quan.
Kiến thức cần nhớ
- Nếu hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến d, góc giữa chúng được đo bởi hai đường lần lượt nằm trong mỗi mặt phẳng và cùng vuông góc d.
- Có thể cắt cả hai mặt phẳng bởi một mặt phẳng vuông góc d; hai giao tuyến mới tạo góc cần tìm.
- Trong hình chóp, thường chọn điểm thuận lợi trên cạnh chung và tận dụng đường cao, trung điểm.
- Góc giữa hai mặt phẳng lấy giá trị từ 0 đến \(\pi/2\).
Các công thức chỉ hiệu quả khi dùng đúng điều kiện. Với bài có tham số, căn, mẫu, logarit hoặc lượng giác, nên ghi điều kiện ngay từ đầu thay vì bổ sung sau khi đã biến đổi.
Phương pháp giải theo từng bước
- Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.
- Chọn một điểm trên giao tuyến.
- Trong mỗi mặt phẳng, dựng một đường qua điểm đó vuông góc giao tuyến.
- Tính góc giữa hai đường vừa dựng bằng tam giác phẳng.
Sau mỗi bước quan trọng, nên tự hỏi phép biến đổi có tương đương hay chỉ là điều kiện cần. Thói quen này đặc biệt hữu ích khi bình phương hai vế, nhân chia với biểu thức chưa biết dấu hoặc đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1
Bài toán: Hai mặt phẳng vuông góc nhau. Góc giữa chúng bằng bao nhiêu?
Lời giải: Bằng \(90^\circ\).
Ví dụ 2
Bài toán: Trong một mô hình, sau khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc giao tuyến, thu được hai tia tạo góc \(60^\circ\). Góc giữa hai mặt phẳng là bao nhiêu?
Lời giải: Góc giữa hai mặt phẳng bằng \(60^\circ\).
Lỗi thường gặp
- Lấy góc giữa hai đường bất kỳ nằm trong hai mặt phẳng.
- Không chứng minh các đường dùng đo góc cùng vuông góc giao tuyến.
- Chọn góc tù thay vì góc nhọn quy ước giữa hai mặt phẳng.
Nếu kết quả cuối là một khoảng nghiệm, một giá trị cực trị hoặc một số đo hình học, hãy kiểm tra nhanh bằng cách thế ngược, ước lượng hoặc đối chiếu với hình vẽ. Một bước kiểm tra ngắn thường phát hiện được lỗi dấu hoặc lỗi điều kiện.
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Tìm giao tuyến trước; đây là “xương sống” của bài.
- Một mặt phẳng phụ vuông góc giao tuyến thường làm hình rõ hơn nhiều.
Trong bài tự luận, nên viết đủ điều kiện, công thức được sử dụng và kết luận. Không nên thay toàn bộ lập luận bằng kết quả máy tính cầm tay hoặc hình vẽ phần mềm.
Bài tự luyện
- Bài 1: Nếu hai mặt phẳng song song thì góc giữa chúng? Đáp án/Gợi ý: Bằng 0 độ.
- Bài 2: Nếu góc phẳng nhị diện đo được 120 độ, góc giữa hai mặt phẳng lấy bao nhiêu? Đáp án/Gợi ý: 60 độ.
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Hình học không gian. Nên học bài P1 nền tảng trước, sau đó chuyển sang các dạng P2 để tăng khả năng nhận dạng và phối hợp phương pháp.