Phương trình hàm yêu cầu tìm cả một hàm số thỏa quan hệ với mọi giá trị trong miền. Ở mức cơ bản, chiến lược hiệu quả là thế các giá trị đặc biệt như 0, 1, x=y, y=-x để tìm \(f(0)\), tính chẵn lẻ, tính cộng hoặc dạng tuyến tính.
Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Chuyên đề bất đẳng thức THPT để nắm các kiến thức nền liên quan.
Kiến thức cần nhớ
- Mỗi phép thế phải hợp lệ với miền xác định của biến.
- Các giá trị 0, 1 thường làm phương trình đơn giản mạnh.
- Thế x=y hoặc y=-x có thể bộc lộ tính đối xứng, chẵn lẻ.
- Sau khi đoán được dạng hàm, phải thay ngược để kiểm tra thỏa mãn với mọi x, y.
Các công thức chỉ hiệu quả khi dùng đúng điều kiện. Với bài có tham số, căn, mẫu, logarit hoặc lượng giác, nên ghi điều kiện ngay từ đầu thay vì bổ sung sau khi đã biến đổi.
Phương pháp giải theo từng bước
- Xác định miền của x, y và hàm f.
- Thế các giá trị đặc biệt để tìm f(0), f(1) hoặc quan hệ đơn giản.
- Kết hợp các hệ thức để suy ra dạng f(x).
- Kiểm tra trực tiếp hàm tìm được trong phương trình gốc.
Sau mỗi bước quan trọng, nên tự hỏi phép biến đổi có tương đương hay chỉ là điều kiện cần. Thói quen này đặc biệt hữu ích khi bình phương hai vế, nhân chia với biểu thức chưa biết dấu hoặc đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1
Bài toán: Tìm hàm \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) thỏa \(f(x)+f(y)=f(x+y)\) và giả sử thêm f liên tục, với \(f(1)=2\).
Lời giải: Đây là phương trình Cauchy cộng tính. Với điều kiện liên tục, \(f(x)=cx\). Từ \(f(1)=2\), được \(c=2\), nên \(f(x)=2x\).
Ví dụ 2
Bài toán: Nếu \(f(x+y)=f(x)+f(y)\), suy ra \(f(0)\) bằng bao nhiêu?
Lời giải: Thế x=y=0: \(f(0)=2f(0)\), nên \(f(0)=0\).
Lỗi thường gặp
- Đoán hàm tuyến tính rồi kết luận mà không chứng minh trong điều kiện đề.
- Thế giá trị ngoài miền xác định.
- Quên kiểm tra nghiệm hàm sau cùng.
Nếu kết quả cuối là một khoảng nghiệm, một giá trị cực trị hoặc một số đo hình học, hãy kiểm tra nhanh bằng cách thế ngược, ước lượng hoặc đối chiếu với hình vẽ. Một bước kiểm tra ngắn thường phát hiện được lỗi dấu hoặc lỗi điều kiện.
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Ghi lại từng hệ thức mới sau mỗi phép thế; phương trình hàm dễ rối nếu làm trong đầu.
- Phân biệt phần “suy ra ứng viên” và phần “kiểm tra ứng viên”.
Trong bài tự luận, nên viết đủ điều kiện, công thức được sử dụng và kết luận. Không nên thay toàn bộ lập luận bằng kết quả máy tính cầm tay hoặc hình vẽ phần mềm.
Bài tự luyện
- Bài 1: Nếu f cộng tính, chứng minh f(-x)=-f(x). Đáp án/Gợi ý: Dùng 0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x).
- Bài 2: Nếu f(x+y)=f(x)f(y), f(0) khác 0 thì f(0)=? Đáp án/Gợi ý: Thế x=y=0: f(0)=f(0)^2, khác 0 nên f(0)=1.
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Học sinh giỏi & Toán nâng cao. Nên học bài P1 nền tảng trước, sau đó chuyển sang các dạng P2 để tăng khả năng nhận dạng và phối hợp phương pháp.