Số chính phương là số có dạng \(n^2\) với \(n\in\mathbb{Z}\). Chủ đề này thường được giải bằng phân tích thừa số nguyên tố, xét số dư và kẹp giữa hai bình phương liên tiếp.
1. Dấu hiệu từ phân tích thừa số nguyên tố
Một số nguyên dương là số chính phương khi và chỉ khi trong phân tích ra thừa số nguyên tố, mọi số mũ đều chẵn. Ví dụ \(3600=2^4\cdot3^2\cdot5^2=60^2\).
2. Số dư thường dùng
- Modulo \(4\), số chính phương chỉ có thể dư \(0\) hoặc \(1\).
- Modulo \(8\), số chính phương chỉ có thể dư \(0,1,4\).
- Chữ số tận cùng của số chính phương chỉ có thể là \(0,1,4,5,6,9\).
Do đó một số tận cùng bằng \(2,3,7,8\) chắc chắn không phải số chính phương. Đây là điều kiện loại trừ, không phải điều kiện đủ.
3. Dạng 1: Chứng minh một số không phải số chính phương
Chọn mô-đun làm lộ mâu thuẫn. Ví dụ nếu \(N\equiv2\pmod{4}\) thì \(N\) không thể là số chính phương.
4. Dạng 2: Chứng minh một số là số chính phương
Ưu tiên biến đổi về bình phương hoàn chỉnh hoặc chứng minh mọi số mũ trong phân tích nguyên tố đều chẵn.
5. Dạng 3: Kẹp giữa hai bình phương liên tiếp
Nếu tìm được số nguyên \(k\) sao cho \(k^2<N<(k+1)^2\), thì \(N\) không phải số chính phương.
6. Dạng 4: Tích là số chính phương
Nếu \(ab\) là số chính phương thì không thể luôn suy ra \(a,b\) đều là số chính phương. Tuy nhiên, nếu \(a,b\in\mathbb{N}^{*}\), \(\gcd(a,b)=1\) và \(ab\) là số chính phương, thì \(a\) và \(b\) đều là số chính phương.
7. Bài tập tự luyện
- Chứng minh \(4n+2\) không phải số chính phương với mọi \(n\in\mathbb{Z}\).
- Chứng minh nếu \(n^2\) chia hết cho một số nguyên tố \(p\) thì \(n\) chia hết cho \(p\).
- Tìm các chữ số tận cùng có thể có của \(n^2\).
- Cho \(a,b\in\mathbb{N}^{*}\), \(\gcd(a,b)=1\), \(ab\) là số chính phương. Chứng minh \(a,b\) đều là số chính phương.
Hình minh họa từ tài liệu
Bài viết liên quan
9. Học tiếp trong cụm Số học THCS
- Chuyên đề Số học THCS
- Số nguyên tố và hợp số
- Phân tích một số ra thừa số nguyên tố
- Chứng minh chia hết cho một số
- Ứng dụng đồng dư thức
- Dạng toán chữ số tận cùng
Mở rộng: loại nhanh số không phải số chính phương bằng số dư
- Số chính phương chia cho \(4\) chỉ dư \(0\) hoặc \(1\).
- Số chính phương chia cho \(8\) chỉ dư \(0,1,4\).
- Số chính phương chia cho \(3\) chỉ dư \(0\) hoặc \(1\).
- Chữ số tận cùng của số chính phương chỉ có thể là \(0,1,4,5,6,9\).
Ví dụ
Số \(2026\) không thể là số chính phương vì \(2026\equiv2\pmod4\).
Số \(1234567\) không thể là số chính phương vì chữ số tận cùng là 7.
Lưu ý
Các dấu hiệu trên chủ yếu dùng để loại. Ví dụ một số tận cùng bằng 9 chưa chắc là số chính phương; phải dùng thêm điều kiện khác.
Xem thêm phương trình nghiệm nguyên THCS để thấy cách dùng số dư trong bài HSG.