Giai đoạn 4 – Đầu học kì II: Nguyên hàm và tích phân
Thể tích vật thể bằng tích phân giúp học sinh lớp 12 nắm chắc phương pháp, luyện đúng dạng bài và trình bày lời giải theo chương trình Kết nối tri thức hiện hành.
Kiến thức cần ghi nhớ
- Nếu mặt cắt vuông góc trục $Ox$ tại vị trí $x$ có diện tích $S(x)$, thể tích vật thể từ $a$ đến $b$ là $V=\int_a^bS(x)dx$.
- $S(x)$ phải không âm và liên tục phù hợp trên đoạn xét.
- Bài toán thực tế cần xác định đúng diện tích mặt cắt trước khi lập tích phân.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1
Vật thể có diện tích mặt cắt $S(x)=x^2$ trên $[0;2]$. Tính thể tích.
Cách làm: $V=\int_0^2x^2dx=\left[\dfrac{x^3}{3}
ight]_0^2=\dfrac83$.
Bài tập thực hành
Tự làm các bài dưới đây trước khi mở lời giải.
- Nếu $S(x)=4$ trên $[0;3]$, thể tích bằng bao nhiêu?
- Đơn vị thể tích nếu $x$ tính bằng cm và $S$ bằng cm² là gì?
- Mặt cắt có diện tích âm được không?
- Công thức thể tích theo diện tích mặt cắt?
Bài tập về nhà
- Tính $V$ nếu $S(x)=2x+1$ trên $[0;2]$.
- Nếu mọi mặt cắt đều có diện tích $A$, vật dài $h$, công thức tích phân cho kết quả gì?
- Bước quan trọng nhất trước khi tích phân là gì?
Xem lời giải
Xem lời giải bài tập thực hành
- Cách làm: $V=\int_0^3 4dx=12$.
- Cách làm: cm³.
- Cách làm: Không.
- Cách làm: $V=\int_a^bS(x)dx$.
Xem lời giải bài tập về nhà
- Cách làm: $V=[x^2+x]_0^2=6$.
- Cách làm: $V=Ah$.
- Cách làm: Thiết lập đúng hàm diện tích mặt cắt $S(x)$.
Gợi ý học: Tự giải trước, sau đó mở lời giải để đối chiếu phương pháp, công thức và cách trình bày.