Giai đoạn 4 – Đầu học kì II: Nguyên hàm và tích phân
Kiến thức cần ghi nhớ
- Nếu $F$ là nguyên hàm của $f$ trên đoạn $[a;b]$ thì $\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$.
- Khi $f(x)\ge0$ trên $[a;b]$, tích phân bằng diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị, trục hoành và hai đường $x=a,x=b$.
- Tích phân xác định là một số; hằng số $C$ của nguyên hàm bị triệt tiêu khi lấy hiệu hai đầu mút.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1
Tính $\int_0^2 x\,dx$.
Cách làm: Một nguyên hàm là $F(x)=\dfrac{x^2}{2}$. Do đó $\int_0^2x\,dx=F(2)-F(0)=2$.
Bài tập thực hành
- Tính $\int_0^1 2x\,dx$.
- Tích phân xác định có cần cộng $C$ không?
- Nếu $f\ge0$, tích phân có ý nghĩa hình học gì?
- Tính $\int_1^1 f(x)dx$.
Bài tập về nhà
- Tính $\int_0^1 3x^2dx$.
- Tính $\int_0^\pi\sin x\,dx$.
- Nêu công thức Newton–Leibniz cơ bản.
Xem lời giải
Xem lời giải bài tập thực hành
- Cách làm: $[x^2]_0^1=1$.
- Cách làm: Không, vì hằng số triệt tiêu trong hiệu $F(b)-F(a)$.
- Cách làm: Là diện tích hình phẳng dưới đồ thị trên đoạn xét.
- Cách làm: $0$.
Xem lời giải bài tập về nhà
- Cách làm: $[x^3]_0^1=1$.
- Cách làm: $[-\cos x]_0^\pi=2$.
- Cách làm: $\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$ khi $F’=f$.