Thể tích vật thể tròn xoay là ứng dụng hình học quan trọng của tích phân. Điều khó nhất thường là chọn đúng bán kính của thiết diện tròn hoặc vành khăn khi miền phẳng quay quanh một trục.
Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Bảng nguyên hàm cơ bản để nắm các kiến thức nền liên quan.
Kiến thức cần nhớ
- Quay miền dưới \(y=f(x)\ge0\) quanh trục \(Ox\) trên \([a,b]\): \(V=\pi\int_a^b[f(x)]^2dx\).
- Nếu thiết diện là vành khăn có bán kính ngoài \(R(x)\), trong \(r(x)\), thì \(V=\pi\int(R^2-r^2)dx\).
- Bán kính là khoảng cách từ đường biên đến trục quay, không luôn bằng chính hàm số nếu trục quay bị dịch.
- Đơn vị thể tích là đơn vị độ dài lập phương.
Phương pháp giải theo từng bước
- Vẽ miền và trục quay.
- Biểu diễn bán kính ngoài, bán kính trong theo biến tích phân.
- Xác định cận từ miền phẳng.
- Lập tích phân diện tích thiết diện rồi tính.
Ví dụ 1
Bài toán: Quay miền dưới \(y=x\), \(0\le x\le1\), quanh \(Ox\).
Lời giải: Thiết diện là đĩa bán kính \(x\). \(V=\pi\int_0^1x^2dx=\pi/3\).
Ví dụ 2
Bài toán: Quay miền giữa \(y=2\) và \(y=x\) trên \([0,1]\) quanh \(Ox\).
Lời giải: Bán kính ngoài 2, trong \(x\). \(V=\pi\int_0^1(4-x^2)dx=11\pi/3\).
Lỗi thường gặp
- Quên bình phương bán kính.
- Nhầm diện tích với thể tích, bỏ hệ số \(\pi\).
- Dùng hàm trên trừ hàm dưới rồi bình phương thay vì hiệu hai bình phương trong trường hợp vành khăn.
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Kiểm tra thứ nguyên: nếu biểu thức cuối còn đơn vị chiều dài bình phương thì có thể bạn đang tính diện tích.
- Với trục quay không phải trục tọa độ, hãy viết khoảng cách đến trục trước.
Bài tự luyện
- Bài 1: Quay miền dưới \(y=\sqrt{x}\), \(0\le x\le4\), quanh \(Ox\). Đáp án/Gợi ý: \(V=\pi\int_0^4x\,dx=8\pi\).
- Bài 2: Quay hình chữ nhật \(0\le x\le2,0\le y\le3\) quanh \(Ox\). Đáp án/Gợi ý: \(V=\pi\int_0^2 9dx=18\pi\).
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Nguyên hàm – Tích phân.