Đếm hình và cắt ghép hình nâng cao cần một phương pháp hệ thống: phân loại theo kích thước, vị trí, số phần ghép và sử dụng tính bất biến của diện tích. Không nên đếm chỉ bằng quan sát.
1. Kiến thức cần nhớ
- Đếm hình nhỏ trước, sau đó hình ghép lớn hơn.
- Đánh số vùng hoặc đỉnh để mô tả một hình duy nhất, tránh đếm trùng.
- Với lưới, đếm theo kích thước hoặc theo cặp đường biên.
- Cắt ghép: tổng diện tích không đổi nếu không chồng lấn và không bỏ sót.
- Khi thiếu kích thước, suy ra từ tổng chiều dài hoặc các cạnh bằng nhau.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Lưới 2×2 có 4 hình vuông 1×1 và 1 hình vuông 2×2, tổng 5.
Ví dụ 2: Lưới 2 hàng, 3 cột có 4 đường biên dọc và 3 đường biên ngang. Có 3 + 2 + 1 = 6 cách chọn hai đường biên dọc và 2 + 1 = 3 cách chọn hai đường biên ngang. Vì vậy có 6 × 3 = 18 hình chữ nhật nếu tính cả hình vuông như một trường hợp đặc biệt của hình chữ nhật.
Lưu ý: Nếu đề yêu cầu đếm hình chữ nhật không kể hình vuông, cần trừ số hình vuông khỏi tổng trên.
Ví dụ 3: Hình chữ L thường tính nhanh bằng hình chữ nhật lớn trừ phần khuyết.
3. Cách áp dụng vào bài tập
- Đánh dấu các điểm, đoạn và phần nhỏ để có tên gọi rõ ràng trước khi đếm; tránh đếm bằng mắt mà không lưu dấu.
- Đếm hình theo kích thước từ nhỏ đến lớn hoặc theo số phần ghép, lập bảng để chống trùng.
- Với cắt ghép diện tích, tìm các cặp phần có thể chuyển vị trí để tạo hình chữ nhật, hình vuông hoặc tam giác quen thuộc.
- Kiểm tra tổng diện tích trước và sau cắt ghép phải bằng nhau nếu không có phần chồng hoặc bị bỏ.
Điểm cần tự kiểm tra: Ở bài nâng cao, nên mô tả tiêu chí đếm trước khi bắt đầu, chẳng hạn “tam giác có đáy trên BC” hoặc “hình vuông cạnh 1 ô, 2 ô…”. Tiêu chí tốt giúp chứng minh đã đếm đủ.
4. Lỗi thường gặp
- Đếm hình vuông xoay nghiêng bị bỏ sót.
- Đếm một hình ở nhiều cách gọi khác nhau.
- Cắt ghép nhưng chồng phần diện tích.
5. Bài tự luyện
- Lưới 3×3 có bao nhiêu hình vuông?
- Theo quy ước tính cả hình vuông, lưới 1 hàng, 4 cột có bao nhiêu hình chữ nhật?
- Hình chữ nhật 12×9 bị khoét hình 4×3. Diện tích còn lại?
Đáp số: 14; 10; 96.
Học tiếp theo chuyên đề
Đếm hình nâng cao cần một thứ tự cố định
Với hình có nhiều ô hoặc nhiều đoạn chồng nhau, cách đếm bằng mắt rất dễ bỏ sót. Nên đếm theo kích thước tăng dần: hình nhỏ nhất trước, rồi hình ghép từ 2 phần, 3 phần… cuối cùng là hình lớn nhất.
Ví dụ với lưới ô vuông
Một hình vuông 2 × 2 gồm 4 ô vuông nhỏ. Ngoài 4 hình 1 × 1 còn có 1 hình vuông 2 × 2, nên tổng cộng 5 hình vuông. Với lưới 3 × 3, cần đếm 9 hình 1 × 1, 4 hình 2 × 2 và 1 hình 3 × 3, tổng 14 hình.
Cắt ghép: bảo toàn diện tích nhưng không bảo toàn chu vi
Khi cắt một hình rồi ghép lại mà không chồng lấn và không bỏ sót, tổng diện tích được giữ nguyên. Tuy nhiên chu vi có thể thay đổi vì các cạnh mới trở thành cạnh ngoài hoặc bị ghép vào bên trong. Đây là điểm rất hay bị nhầm trong bài nâng cao.
Chiến lược làm bài
Đánh dấu từng loại hình đã đếm; dùng bảng “kích thước – số lượng”; nếu có đối xứng thì khai thác đối xứng nhưng vẫn phải kiểm tra phần ở giữa. Với hình tam giác ghép, nên phân loại theo hướng lên, hướng xuống và theo kích thước.
Tự kiểm tra
Nếu sau khi đếm xong vẫn chưa chắc, hãy đổi cách: thay vì nhìn từng hình, liệt kê theo đỉnh hoặc theo vùng. Hai cách độc lập cho cùng kết quả sẽ đáng tin cậy hơn.