Bất đẳng thức là một trong những công cụ nền tảng của Đại số THCS. Muốn chứng minh bất đẳng thức, giải bất phương trình hoặc tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất, trước hết cần nắm chắc ý nghĩa của các dấu so sánh và những phép biến đổi làm thay đổi hoặc không làm thay đổi chiều bất đẳng thức.
1. Định nghĩa bất đẳng thức
Với hai số thực \(a\) và \(b\):
- \(a<b\) khi \(a-b<0\).
- \(a>b\) khi \(a-b>0\).
- \(a\le b\) khi \(a-b\le 0\).
- \(a\ge b\) khi \(a-b\ge 0\).
Các hệ thức dạng \(a<b\), \(a>b\), \(a\le b\), \(a\ge b\) được gọi là bất đẳng thức. \(a\) là vế trái và \(b\) là vế phải.
2. Các tính chất cơ bản cần nhớ
Tính chất bắc cầu
Nếu \(a>b\) và \(b>c\) thì \(a>c\). Tương tự với dấu nhỏ hơn.
Cộng cùng một số vào hai vế
Với mọi số thực \(c\): \(a>b \Leftrightarrow a+c>b+c\).
Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều
Nếu \(a\ge b\) và \(c\ge d\) thì \(a+c\ge b+d\).
Nhân hai vế với một số
- Nếu \(c>0\) thì \(a>b \Leftrightarrow ac>bc\).
- Nếu \(c<0\) thì \(a>b \Leftrightarrow ac<bc\): khi nhân hoặc chia cho một số âm phải đổi chiều bất đẳng thức.
Nhân hai bất đẳng thức không âm
Nếu \(a\ge b\ge0\) và \(c\ge d\ge0\) thì \(ac\ge bd\). Điều kiện không âm là quan trọng.
Lũy thừa
- Với \(n\) là số nguyên dương lẻ: \(a>b \Leftrightarrow a^n>b^n\).
- Với \(n\) là số nguyên dương chẵn và \(a\ge b\ge0\): \(a^n\ge b^n\).
- Với số mũ chẵn, nếu \(a,b\) có thể âm thì cần so sánh \(|a|\) và \(|b|\), không được suy trực tiếp từ \(a>b\).
3. Một số hệ quả thường dùng
\((a-b)^2\ge0 \Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\).
\((a+b)^2\ge0 \Rightarrow a^2+b^2\ge-2ab\).
Do đó \(a^2+b^2\ge2|ab|\) với mọi số thực \(a,b\).
4. Lỗi thường gặp
- Quên đổi chiều khi nhân hoặc chia hai vế với một số âm.
- Bình phương hai vế khi chưa kiểm tra dấu.
- Nhân hai bất đẳng thức khi chưa bảo đảm các vế cần thiết là không âm.
- Dùng tính đơn điệu của lũy thừa chẵn như đối với lũy thừa lẻ.
5. Ví dụ
Chứng minh \(a^2+b^2\ge2ab\). Ta có \(a^2+b^2-2ab=(a-b)^2\ge0\). Dấu bằng xảy ra khi \(a=b\).
Bài viết liên quan
- Chuyên đề Bất đẳng thức và Cực trị THCS
- Bất đẳng thức Bunhiacopxki
- Bất đẳng thức Cosi (AM-GM)
- Một số bài toán Bất đẳng thức chọn lọc thi vào 10 năm 2023
- 14 bổ đề bất đẳng thức thường gặp
Mở rộng: ba quy tắc biến đổi bất đẳng thức cần nhớ
- Cộng cùng một số vào hai vế không đổi chiều: nếu \(a>b\) thì \(a+c>b+c\).
- Nhân hai vế với số dương không đổi chiều.
- Nhân hai vế với số âm phải đổi chiều bất đẳng thức.
Ví dụ
Từ \(-2x>6\), chia hai vế cho \(-2\) phải đổi chiều:
\(x<-3\).
So sánh bằng hiệu
Để so sánh \(A\) và \(B\), xét \(A-B\). Nếu chứng minh được \(A-B\ge0\) thì \(A\ge B\). Đây cũng là cầu nối quan trọng sang các bài chứng minh bất đẳng thức.
Lỗi thường gặp
- Quên đổi chiều khi nhân/chia với số âm.
- Nhân hai vế với biểu thức chưa biết dấu.
- Bình phương hai vế khi chưa kiểm tra dấu của hai vế.