Trung bình cộng khi thêm, bớt hoặc thay một số là dạng vận dụng quan trọng ở lớp 4–5. Quan hệ nền tảng: tổng = trung bình cộng × số lượng số. Khi số lượng thay đổi, không thể chỉ cộng hoặc trừ trực tiếp vào trung bình.
1. Thêm một số đã biết
Trung bình 4 số là 18 nên tổng 72. Thêm 28, tổng 100, có 5 số; trung bình mới 20.
2. Tìm số được thêm
Trung bình 5 số là 16, sau khi thêm thành trung bình 6 số là 18. Tổng cũ 80, tổng mới 108, số thêm 28.
3. Bớt một số
Trung bình 6 số là 15, tổng 90. Bỏ 20, còn 70 với 5 số, trung bình mới 14.
4. Tìm số bị bớt
Trung bình 7 số là 12, bỏ một số còn 6 số trung bình 10. Tổng cũ 84, tổng còn 60, số bỏ 24.
5. Thay một số
Có 6 số. Thay một số bằng số mới lớn hơn số cũ 12 thì tổng tăng 12, số lượng không đổi; trung bình tăng 12 : 6 = 2.
6. Ghép hai nhóm
Nhóm A 4 bạn trung bình 8, nhóm B 6 bạn trung bình 7. Tổng điểm 32 + 42 = 74; 10 bạn trung bình 7,4, không phải (8 + 7) : 2.
7. Nhận xét nhanh
- Thêm số lớn hơn trung bình cũ → trung bình tăng.
- Thêm số nhỏ hơn trung bình cũ → trung bình giảm.
- Thêm đúng số bằng trung bình cũ → trung bình không đổi.
8. Quy trình
- Tính tổng cũ.
- Xác định số lượng mới.
- Tính tổng mới nếu biết trung bình mới.
- Dùng chênh hai tổng để tìm số thêm/bớt hoặc chia tổng mới cho số lượng mới.
9. Lỗi thường gặp
- Lấy (trung bình cũ + số thêm) : 2.
- Quên số lượng chuyển từ n sang n±1.
- Ghép hai nhóm khác quy mô bằng trung bình của hai trung bình.
10. Bài tập
- Trung bình 3 số là 20, thêm 32. Trung bình mới?
- Trung bình 4 số là 17; thêm một số thì trung bình 5 số là 19. Số thêm?
- 8 số, thay một số bằng số lớn hơn 24. Trung bình tăng?
- Trung bình 6 số là 14. Bỏ một số, 5 số còn lại trung bình 12. Số bỏ?
- Nhóm A 5 bạn trung bình 8; nhóm B 5 bạn trung bình 6. Trung bình chung?
Đáp án
- (60 + 32) : 4 = 23.
- 95 − 68 = 27.
- 24 : 8 = 3.
- 84 − 60 = 24.
- (40 + 30) : 10 = 7.
11. Tìm trung bình mới bằng mức chênh
Nếu số lượng không đổi và tổng tăng 30 trong một nhóm 10 số thì trung bình tăng 30 : 10 = 3. Đây là cách nhanh cho bài “thay một số”, nhưng chỉ dùng khi số lượng phần tử giữ nguyên.
12. Khi thêm một số bằng trung bình cũ
Trung bình 5 số là 18. Thêm số 18 thì tổng cũ 90, tổng mới 108 với 6 số; 108 : 6 = 18. Trung bình không đổi. Điều này giải thích nhận xét “thêm đúng trung bình thì trung bình giữ nguyên”.
13. Khi thêm một số thấp hơn trung bình
Trung bình 4 số là 20, thêm số 10. Tổng cũ 80, tổng mới 90 với 5 số, trung bình mới 18. Kết quả giảm từ 20 xuống 18, phù hợp vì số thêm thấp hơn trung bình cũ.
14. Câu hỏi thường gặp
Có thể lấy trung bình của hai trung bình không?
Chỉ khi hai nhóm có cùng số lượng. Nếu số lượng khác nhau phải quay về tổng của từng nhóm.
Trung bình cộng có nhất thiết là một số trong nhóm không?
Không. Các số 1 và 2 có trung bình 1,5, không trùng số nào trong nhóm.
Cách kiểm tra số thêm tìm được?
Thêm số đó vào tổng cũ rồi chia cho số lượng mới; kết quả phải đúng trung bình mới đề cho.
15. Kiểm tra bằng vị trí của trung bình
Trung bình cộng luôn nằm giữa giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của nhóm. Nếu thêm một số rất lớn, trung bình mới phải tăng nhưng không thể vượt số lớn nhất mới thêm. Nếu bỏ một số lớn hơn trung bình cũ, trung bình của phần còn lại thường giảm. Các nhận xét này không thay thế phép tính nhưng giúp phát hiện đáp số vô lí.