Sơ đồ đoạn thẳng biến dữ kiện bằng lời thành quan hệ trực quan: đoạn nào lớn hơn, hơn bao nhiêu, tổng gồm mấy phần, tỉ số tương ứng mấy phần bằng nhau. Sơ đồ giúp hiểu phép tính thay vì học công thức máy móc.
1. Nguyên tắc vẽ
- Mỗi đại lượng là một đoạn.
- Các “phần bằng nhau” phải được biểu diễn bằng các đoạn bằng nhau tương đối.
- Ghi số đã biết và dấu hỏi ở phần cần tìm.
- Không cần đúng tỉ lệ tuyệt đối nhưng quan hệ lớn–bé phải đúng.
2. Tổng và hiệu
Tổng 84, hiệu 16. Bớt phần hơn 16 khỏi số lớn thì hai đoạn bằng nhau. Số bé = (84 − 16) : 2 = 34; số lớn = 50.
3. Tổng và tỉ
Tổng 90, tỉ 2 : 3. Hai số có tổng 5 phần; một phần 90 : 5 = 18. Hai số là 36 và 54.
4. Hiệu và tỉ
Hiệu 24, tỉ số bé : lớn = 3 : 5. Hiệu ứng với 2 phần; một phần 12. Hai số là 36 và 60.
5. Nhiều hơn – ít hơn
Lan có 24 viên, Minh nhiều hơn 7. Sơ đồ Minh gồm phần bằng Lan cộng thêm 7 nên Minh có 31. Nếu hỏi tổng, phải tính tiếp 24 + 31 = 55.
6. Bài toán tuổi
Hiệu tuổi của hai người không đổi theo thời gian. Nếu anh hơn em 6 tuổi thì 4 năm trước hay 5 năm sau vẫn hơn 6. Khi đề cho tỉ số tuổi ở một thời điểm, vẽ sơ đồ đúng thời điểm đó.
7. Cách đọc sơ đồ
- Tổng hoặc hiệu đang ứng với bao nhiêu phần?
- Một phần bằng bao nhiêu?
- Đại lượng cần tìm có mấy phần?
8. Lỗi thường gặp
- Tỉ 2:3 nhưng các phần vẽ không bằng nhau.
- Hiệu–tỉ lại lấy hiệu chia tổng số phần.
- Ghi sai vị trí phần hơn.
- Vẽ xong không dùng sơ đồ để lập phép tính.
9. Bài tập
- Tổng 84, hiệu 16.
- Tổng 120, tỉ 3:5.
- Hiệu 42, tỉ bé:lớn = 4:7.
- Có 36 quả cam, số quýt bằng 2/3 số cam. Tìm quýt và tổng.
Đáp án
- 34 và 50.
- Một phần 15; 45 và 75.
- Một phần 14; 56 và 98.
- 36 ứng 3 phần, một phần 12; quýt 24, tổng 60.
10. Ví dụ phần bằng nhau không phải số nguyên
Nếu tổng hai đại lượng là 75 và tỉ số 2 : 3 thì một phần bằng 75 : 5 = 15, hai đại lượng là 30 và 45. Nếu tổng không chia hết tổng số phần mà bài yêu cầu số tự nhiên, cần kiểm tra dữ kiện; còn với đại lượng đo có thể xuất hiện số thập phân nếu chương trình cho phép.
11. Khi nào nên vẽ sơ đồ?
Nên vẽ khi đề có các từ “hơn”, “kém”, “gấp”, “bằng một phần mấy”, “tổng”, “hiệu”, hoặc khi có nhiều thời điểm như bài tuổi. Với bài một bước quá đơn giản, học sinh có thể không cần vẽ, nhưng sơ đồ vẫn hữu ích khi mới học dạng.
12. Từ sơ đồ đến câu lời giải
Một bài trình bày tốt không chỉ có phép tính. Ví dụ tổng–tỉ nên có các bước: tổng số phần bằng nhau; giá trị một phần; giá trị từng đại lượng; đáp số. Việc viết đúng câu lời giải giúp giáo viên thấy học sinh hiểu ý nghĩa mỗi phép tính.
13. Câu hỏi thường gặp
Sơ đồ có phải vẽ đúng tỉ lệ bằng thước không?
Không cần tuyệt đối, nhưng các phần được gọi là bằng nhau phải thể hiện nhất quán.
Tỉ số 3 : 5 thì hiệu ứng mấy phần?
Nếu số lớn ứng 5 phần và số bé 3 phần thì hiệu ứng 2 phần.
Tổng–hiệu có cần thuộc công thức?
Có thể nhớ công thức, nhưng sơ đồ giúp hiểu công thức và giảm nhầm số lớn–số bé.
14. Checklist trước khi đặt bút tính
- Đề đang cho tổng, hiệu hay tỉ số?
- Đại lượng nào lớn hơn?
- Mỗi phần trên sơ đồ có thực sự bằng nhau không?
- Tổng ứng với tổng số phần hay hiệu ứng với hiệu số phần?
- Đáp số có đúng đơn vị và thỏa quan hệ ban đầu không?
Chỉ cần kiểm tra năm câu này, học sinh có thể tránh phần lớn lỗi ở dạng tổng–hiệu, tổng–tỉ và hiệu–tỉ.
Một sơ đồ tốt phải cho thấy “một phần” là gì
Với tổng–tỉ 2:3, hãy chia số bé thành 2 phần bằng nhau và số lớn thành 3 phần cùng kích thước. Tổng ứng với 5 phần, nên một phần bằng tổng chia 5. Nếu các đoạn đại diện cho “phần bằng nhau” lại vẽ khác kích thước, sơ đồ sẽ gây hiểu nhầm.
Ví dụ tổng–tỉ
Tổng hai số là 135, tỉ số 2:3. Một phần = 135:5 = 27. Hai số là 54 và 81.
Ví dụ hiệu–tỉ
Số bé bằng 3/5 số lớn và hiệu là 28. Hiệu ứng với 2 phần, nên một phần = 14; số bé 42, số lớn 70.
Sau khi có đáp số, kiểm tra cả hai điều kiện của đề: vừa đúng tổng/hiệu, vừa đúng tỉ số.