Giai đoạn 2 – Học kì I: Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân và thống kê ghép nhóm
Dãy số tăng, giảm và bị chặn giúp học sinh lớp 11 nắm chắc kiến thức, hiểu phương pháp qua ví dụ và luyện tập theo chương trình Kết nối tri thức hiện hành.
Kiến thức cần ghi nhớ
- Dãy $(u_n)$ tăng nếu $u_{n+1}>u_n$ với mọi chỉ số phù hợp; giảm nếu $u_{n+1}
- Có thể xét dấu $u_{n+1}-u_n$ hoặc tỉ số $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ khi các số hạng dương.
- Dãy bị chặn trên nếu tồn tại $M$ sao cho $u_n\le M$; bị chặn dưới nếu tồn tại $m$ sao cho $u_n\ge m$.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1
Xét $u_n=2n+1$.
Cách làm: $u_{n+1}-u_n=2>0$, nên dãy tăng.
Bài tập thực hành
Tự làm các bài dưới đây trước khi mở lời giải.
- Dãy $u_n=5-n$ tăng hay giảm?
- Dãy $u_n=\dfrac1n$ bị chặn dưới bởi số nào?
- Dãy $u_n=(-1)^n$ có bị chặn không?
- Xét tính đơn điệu của $u_n=n^2$.
Bài tập về nhà
- Xét $u_n=\dfrac{n}{n+1}$ tăng hay giảm?
- Dãy $u_n=-n$ bị chặn trên không?
- Dãy $u_n=n$ bị chặn trên không?
Xem lời giải
Xem lời giải bài tập thực hành
- Cách làm: $u_{n+1}-u_n=-1<0$, nên giảm.
- Cách làm: Bị chặn dưới bởi $0$ vì $u_n>0$.
- Cách làm: Có, $-1\le u_n\le1$.
- Cách làm: $u_{n+1}-u_n=2n+1>0$, nên tăng.
Xem lời giải bài tập về nhà
- Cách làm: $u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}>0$, nên tăng.
- Cách làm: Có, chẳng hạn $u_n\le-1$ với $n\ge1$.
- Cách làm: Không, vì có thể lớn tùy ý khi $n$ tăng.
Gợi ý học: Hãy tự làm trước, sau đó mở lời giải để đối chiếu phương pháp và cách trình bày.