Bất đẳng thức Bunhiacopxki

Bất đẳng thức Bunhiacopxki là tên thường dùng ở Việt Nam của bất đẳng thức Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz. Đây là công cụ quan trọng để đánh giá tổng bình phương, tổng phân thức và tìm cực trị.

Phạm vi: Đây là nội dung Toán THCS nâng cao, phù hợp học sinh khá giỏi, ôn HSG và thi vào lớp 10 chuyên; không phải toàn bộ kiến thức trong bài đều thuộc yêu cầu chính khóa.

1. Dạng tổng quát

Với hai dãy số thực \(a_1,\ldots,a_n\) và \(b_1,\ldots,b_n\):

\[(a_1^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+\cdots+b_n^2)\ge(a_1b_1+\cdots+a_nb_n)^2.\]

Dấu bằng khi hai dãy tỉ lệ, tức tồn tại hằng số \(\lambda\) sao cho \(a_i=\lambda b_i\) với mọi chỉ số phù hợp.

2. Dạng căn

\[|a_1b_1+\cdots+a_nb_n|\le\sqrt{(a_1^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+\cdots+b_n^2)}.\]

3. Dạng Engel

Với \(x_1,\ldots,x_n>0\):

\[\dfrac{a_1^2}{x_1}+\cdots+\dfrac{a_n^2}{x_n}\ge\dfrac{(a_1+\cdots+a_n)^2}{x_1+\cdots+x_n}.\]

Dấu bằng khi \(\dfrac{a_1}{x_1}=\cdots=\dfrac{a_n}{x_n}\).

4. Các hệ quả quen thuộc

\[(a+b+c)^2\le3(a^2+b^2+c^2).\]

Với \(x,y>0\): \[\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\ge\dfrac{(a+b)^2}{x+y}.\]

5. Ví dụ

Chứng minh \((x+y+z)^2\le3(x^2+y^2+z^2)\).

Áp dụng Cauchy–Schwarz cho hai dãy \((x,y,z)\) và \((1,1,1)\):

\[(x+y+z)^2\le(x^2+y^2+z^2)(1^2+1^2+1^2).\]

Suy ra kết quả. Dấu bằng khi \(x=y=z\).

6. Khi nào nên dùng?

• Có tổng bình phương và bình phương của tổng.
• Có tổng phân thức dạng \(a_i^2/x_i\) với mẫu dương.
• Cần gom nhiều hạng tử thành một bình phương để tìm cận.

7. Phân biệt với AM-GM

Trong nhiều tài liệu Việt Nam, “Cô-si” còn được dùng để chỉ AM-GM. Trên Hoctoan123.com, bài này dùng tên Bunhiacopxki/Cauchy–Schwarz; còn AM-GM được trình bày ở bài Bất đẳng thức Cosi cho 2 số, 3 số, 4 số, n số.

Bài viết liên quan

• Chuyên đề Bất đẳng thức và Cực trị THCS
• Bất đẳng thức Cosi (AM-GM)
• 14 bổ đề bất đẳng thức thường gặp
• 7 kỹ năng giải bất đẳng thức