Giai đoạn 2 – Học kì I: Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân và thống kê ghép nhóm
Kiến thức cần ghi nhớ
- Dãy $(u_n)$ tăng nếu $u_{n+1}>u_n$ với mọi chỉ số phù hợp; giảm nếu $u_{n+1}\lt u_n$.
- Có thể xét dấu $u_{n+1}-u_n$ hoặc tỉ số $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ khi các số hạng dương.
- Dãy bị chặn trên nếu tồn tại $M$ sao cho $u_n\le M$; bị chặn dưới nếu tồn tại $m$ sao cho $u_n\ge m$.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1
Xét $u_n=2n+1$.
Cách làm: $u_{n+1}-u_n=2>0$, nên dãy tăng.
Bài tập thực hành
- Dãy $u_n=5-n$ tăng hay giảm?
- Dãy $u_n=\dfrac1n$ bị chặn dưới bởi số nào?
- Dãy $u_n=(-1)^n$ có bị chặn không?
- Xét tính đơn điệu của $u_n=n^2$.
Bài tập về nhà
- Xét $u_n=\dfrac{n}{n+1}$ tăng hay giảm?
- Dãy $u_n=-n$ bị chặn trên không?
- Dãy $u_n=n$ bị chặn trên không?
Xem lời giải
Xem lời giải bài tập thực hành
- Cách làm: $u_{n+1}-u_n=-1\lt 0$, nên giảm.
- Cách làm: Bị chặn dưới bởi $0$ vì $u_n>0$.
- Cách làm: Có, $-1\le u_n\le1$.
- Cách làm: $u_{n+1}-u_n=2n+1>0$, nên tăng.
Xem lời giải bài tập về nhà
- Cách làm: $u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}>0$, nên tăng.
- Cách làm: Có, chẳng hạn $u_n\le-1$ với $n\ge1$.
- Cách làm: Không, vì có thể lớn tùy ý khi $n$ tăng.