Cực trị mô tả sự đổi chiều biến thiên của hàm số. Không phải mọi nghiệm của \(f'(x)=0\) đều là điểm cực trị; cần xem dấu đạo hàm hoặc dùng tiêu chuẩn thích hợp để kết luận.
Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Tính đơn điệu của hàm số để nắm các kiến thức nền liên quan.
Kiến thức cần nhớ
- Điểm tới hạn thường là nơi \(f'(x)=0\) hoặc đạo hàm không xác định nhưng hàm vẫn xác định.
- Nếu \(f’\) đổi dấu từ dương sang âm qua \(x_0\), hàm đạt cực đại tại \(x_0\).
- Nếu \(f’\) đổi dấu từ âm sang dương, hàm đạt cực tiểu.
- Giá trị cực trị là \(f(x_0)\), khác với hoành độ điểm cực trị.
Phương pháp giải theo từng bước
- Tính đạo hàm và tìm các điểm tới hạn.
- Sắp các điểm tới hạn trên trục số.
- Xét dấu đạo hàm trên các khoảng.
- Kết luận loại cực trị và tính tung độ nếu đề hỏi điểm cực trị.
Ví dụ 1
Bài toán: Tìm cực trị của \(f(x)=x^3-3x\).
Lời giải: \(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\). Dấu đạo hàm: dương trên \(( -\infty,-1)\), âm trên \((-1,1)\), dương trên \((1,+\infty)\). Vì vậy \(x=-1\) là cực đại, \(x=1\) là cực tiểu.
Ví dụ 2
Bài toán: Hàm \(f(x)=x^4\) có \(f'(0)=0\). Điểm 0 có phải cực trị không?
Lời giải: Có. \(f'(x)=4x^3\) đổi dấu từ âm sang dương qua 0 nên hàm đạt cực tiểu tại 0.
Lỗi thường gặp
- Thấy \(f'(x_0)=0\) là kết luận ngay có cực trị.
- Nhầm hoành độ cực trị với giá trị cực trị.
- Xét dấu đạo hàm sai thứ tự các nghiệm.
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Sau khi có nghiệm đạo hàm, lập bảng dấu ngắn thay vì suy đoán.
- Nếu đề hỏi tọa độ điểm cực trị, nhớ tính thêm \(y=f(x)\).
Bài tự luyện
- Bài 1: Tìm cực trị của \(x^3-6x^2+9x\). Đáp án/Gợi ý: Giải \(3x^2-12x+9=0\), được \(x=1,3\), rồi xét dấu.
- Bài 2: Xét cực trị của \(x^4-2x^2\). Đáp án/Gợi ý: Các điểm tới hạn \(-1,0,1\); xét dấu để phân loại.
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Đạo hàm – Khảo sát hàm số.