Cực trị mô tả sự đổi chiều biến thiên của hàm số. Không phải mọi nghiệm của \(f'(x)=0\) đều là điểm cực trị; cần xem dấu đạo hàm hoặc dùng tiêu chuẩn thích hợp để kết luận.
Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Tính đơn điệu của hàm số để nắm các kiến thức nền liên quan.
Kiến thức cần nhớ
- Điểm tới hạn thường là nơi \(f'(x)=0\) hoặc đạo hàm không xác định nhưng hàm vẫn xác định.
- Nếu \(f’\) đổi dấu từ dương sang âm qua \(x_0\), hàm đạt cực đại tại \(x_0\).
- Nếu \(f’\) đổi dấu từ âm sang dương, hàm đạt cực tiểu.
- Giá trị cực trị là \(f(x_0)\), khác với hoành độ điểm cực trị.
Các công thức chỉ hiệu quả khi dùng đúng điều kiện. Với bài có tham số, căn, mẫu, logarit hoặc lượng giác, nên ghi điều kiện ngay từ đầu thay vì bổ sung sau khi đã biến đổi.
Phương pháp giải theo từng bước
- Tính đạo hàm và tìm các điểm tới hạn.
- Sắp các điểm tới hạn trên trục số.
- Xét dấu đạo hàm trên các khoảng.
- Kết luận loại cực trị và tính tung độ nếu đề hỏi điểm cực trị.
Sau mỗi bước quan trọng, nên tự hỏi phép biến đổi có tương đương hay chỉ là điều kiện cần. Thói quen này đặc biệt hữu ích khi bình phương hai vế, nhân chia với biểu thức chưa biết dấu hoặc đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1
Bài toán: Tìm cực trị của \(f(x)=x^3-3x\).
Lời giải: \(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\). Dấu đạo hàm: dương trên \(( -\infty,-1)\), âm trên \((-1,1)\), dương trên \((1,+\infty)\). Vì vậy \(x=-1\) là cực đại, \(x=1\) là cực tiểu.
Ví dụ 2
Bài toán: Hàm \(f(x)=x^4\) có \(f'(0)=0\). Điểm 0 có phải cực trị không?
Lời giải: Có. \(f'(x)=4x^3\) đổi dấu từ âm sang dương qua 0 nên hàm đạt cực tiểu tại 0.
Lỗi thường gặp
- Thấy \(f'(x_0)=0\) là kết luận ngay có cực trị.
- Nhầm hoành độ cực trị với giá trị cực trị.
- Xét dấu đạo hàm sai thứ tự các nghiệm.
Nếu kết quả cuối là một khoảng nghiệm, một giá trị cực trị hoặc một số đo hình học, hãy kiểm tra nhanh bằng cách thế ngược, ước lượng hoặc đối chiếu với hình vẽ. Một bước kiểm tra ngắn thường phát hiện được lỗi dấu hoặc lỗi điều kiện.
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Sau khi có nghiệm đạo hàm, lập bảng dấu ngắn thay vì suy đoán.
- Nếu đề hỏi tọa độ điểm cực trị, nhớ tính thêm \(y=f(x)\).
Trong bài tự luận, nên viết đủ điều kiện, công thức được sử dụng và kết luận. Không nên thay toàn bộ lập luận bằng kết quả máy tính cầm tay hoặc hình vẽ phần mềm.
Bài tự luyện
- Bài 1: Tìm cực trị của \(x^3-6x^2+9x\). Đáp án/Gợi ý: Giải \(3x^2-12x+9=0\), được \(x=1,3\), rồi xét dấu.
- Bài 2: Xét cực trị của \(x^4-2x^2\). Đáp án/Gợi ý: Các điểm tới hạn \(-1,0,1\); xét dấu để phân loại.
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Đạo hàm – Khảo sát hàm số. Nên học bài P1 nền tảng trước, sau đó chuyển sang các dạng P2 để tăng khả năng nhận dạng và phối hợp phương pháp.