Vectơ và các phép toán vectơ: dạng bài cơ bản cần nắm

Vectơ là công cụ mô tả hướng và độ lớn. Trong tọa độ Oxy, phép toán vectơ chuyển nhiều bài hình học thành tính toán đại số rõ ràng.

Kiến thức cốt lõi cần nắm

Nếu \(A(x_A,y_A),B(x_B,y_B)\) thì \(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A)\).
Với \(\vec u=(a,b),\vec v=(c,d)\): \(\vec u+\vec v=(a+c,b+d)\), \(k\vec u=(ka,kb)\).
Độ dài \(|\vec u|=\sqrt{a^2+b^2}\).
Hai vectơ cùng phương khi tồn tại \(k\) sao cho \(\vec u=k\vec v\); trong tọa độ có thể kiểm tra bằng tỉ lệ thành phần hoặc định thức bằng 0.

Chọn chiều vectơ đúng theo thứ tự điểm.
Chuyển dữ kiện hình học thành tọa độ vectơ.
Thực hiện phép toán theo từng thành phần.
Đổi kết quả đại số trở lại kết luận hình học: cùng phương, trung điểm, trọng tâm hoặc độ dài.

Bài toán: Cho \(A(1,2),B(4,-1)\). Tìm \(\overrightarrow{AB}\) và độ dài AB.

Lời giải: \(\overrightarrow{AB}=(3,-3)\), nên \(AB=\sqrt{18}=3\sqrt2\).

Bài toán: Cho \(\vec u=(2,1),\vec v=(-1,3)\). Tính \(2\vec u-\vec v\).

Lời giải: \(2\vec u-\vec v=(4,2)-(-1,3)=(5,-1)\).

Đổi nhầm \(\overrightarrow{AB}\) thành \((x_A-x_B,y_A-y_B)\).
Cộng độ dài thay vì cộng tọa độ vectơ.
Kết luận cùng phương chỉ vì một cặp tọa độ tỉ lệ mà không kiểm tra cặp còn lại.
Nhầm điểm với vectơ; \(A(1,2)\) không đồng nghĩa \(\vec A=(1,2)\) nếu chưa chọn gốc.

Đã thống nhất hướng của vectơ trước khi cộng, trừ hoặc nhân với số?
Khi chứng minh hai vectơ cùng phương, hệ số tỉ lệ có tồn tại và được dùng nhất quán?
Kết quả tọa độ hoặc độ dài có phù hợp với hình vẽ và dữ kiện ban đầu?

Xem thêm các bài cùng nhóm Vectơ – Tọa độ Oxy.