Phương trình lượng giác cơ bản là nền của hầu hết bài giải phương trình lượng giác. Khó nhất không phải bấm máy mà là viết đủ họ nghiệm và xử lý đúng đơn vị góc.
Kiến thức cốt lõi cần nắm
- \(\sin x=\sin\alpha\Rightarrow x=\alpha+2k\pi\) hoặc \(x=\pi-\alpha+2k\pi\).
- \(\cos x=\cos\alpha\Rightarrow x=\pm\alpha+2k\pi\).
- \(\tan x=\tan\alpha\Rightarrow x=\alpha+k\pi\), với các giá trị đều thuộc miền xác định của tan.
- Khi phương trình là \(\sin x=a\) hoặc \(\cos x=a\), trước hết cần \(|a|\le1\).
Quy trình giải theo từng bước
- Đưa phương trình về một hàm lượng giác cơ bản.
- Chọn một góc đại diện \(\alpha\) thỏa giá trị lượng giác.
- Viết đúng họ nghiệm tổng quát.
- Nếu đề giới hạn trong đoạn, liệt kê các giá trị \(k\in\mathbb Z\) thích hợp và lọc nghiệm.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1
Bài toán: Giải \(\sin x=\dfrac12\).
Lời giải: Có \(\alpha=\dfrac\pi6\). Vậy \(x=\dfrac\pi6+2k\pi\) hoặc \(x=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\), \(k\in\mathbb Z\).
Ví dụ 2
Bài toán: Giải \(\cos x=-\dfrac{\sqrt2}{2}\).
Lời giải: Có thể lấy \(\alpha=\dfrac{3\pi}{4}\). Nghiệm: \(x=\pm\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi\).
Lỗi thường gặp và cách tránh
- Chỉ viết một họ nghiệm cho phương trình sin.
- Nhầm chu kỳ của tan từ \(\pi\) thành \(2\pi\).
- Máy tính ở DEG nhưng kết quả cần radian, hoặc ngược lại.
- Sau khi biến đổi có phép chia, quên kiểm tra nghiệm bị loại hay bị mất.
Bài tập tự luyện
-
\(\sin x=0\)
Đáp số/Gợi ý: \(x=k\pi\)
-
\(\cos x=1\)
Đáp số/Gợi ý: \(x=2k\pi\)
-
\(\tan x=1\)
Đáp số/Gợi ý: \(x=\dfrac\pi4+k\pi\)
-
\(2\cos x=3\)
Đáp số/Gợi ý: Vô nghiệm thực
Checklist trước khi kết luận
- Đã viết đủ các họ nghiệm tổng quát và ghi k thuộc tập số nguyên?
- Với tan hoặc cot, đã loại các giá trị làm hàm lượng giác không xác định?
- Nếu đề giới hạn nghiệm trên đoạn, đã lọc từng họ nghiệm theo đúng khoảng yêu cầu?
Gợi ý học tiếp
Sau khi viết đúng nghiệm tổng quát, hãy dùng máy tính cầm tay để kiểm tra giá trị gần đúng trên một khoảng; máy không thay thế bước viết đầy đủ họ nghiệm.
Xem thêm các bài cùng nhóm Lượng giác THPT.
Xem thêm Phương trình lượng giác thường gặp: đưa về phương trình cơ bản để tiếp tục luyện các dạng lượng giác có liên quan.