Ở mức nâng cao, bài dãy số không chỉ hỏi số tiếp theo mà còn hỏi số hạng thứ n, số số hạng, tổng dãy hoặc vị trí của một số cụ thể.
1. Số hạng thứ n của dãy cách đều
Nếu dãy bắt đầu bằng a và mỗi lần tăng d thì: số hạng thứ n = a + (n – 1) × d.
Dãy 5, 8, 11, 14, … có số hạng thứ 50 là 5 + 49 × 3 = 152.
2. Tìm số số hạng
Số số hạng = (số cuối – số đầu) : khoảng cách + 1.
Dãy 4, 7, 10, …, 100 có (100 – 4) : 3 + 1 = 33 số hạng.
3. Tính tổng dãy cách đều
Tổng = (số đầu + số cuối) × số số hạng : 2.
2 + 4 + … + 100 có 50 số hạng, tổng = (2 + 100) × 50 : 2 = 2550.
4. Số lẻ và số chẵn
Số lẻ thứ n là 2n – 1; số chẵn thứ n là 2n.
5. Dãy xen kẽ
Dãy 1, 10, 3, 20, 5, 30, … có vị trí chẵn là 10, 20, 30… Vị trí 20 là số hạng thứ 10 của dãy chẵn nên bằng 100.
6. Chu kỳ
Dãy A, B, C, D lặp lại. Vị trí 2026: 2026 : 4 dư 2 nên phần tử là B.
7. Bài có lời giải ngắn
Bài 1: Số hạng thứ 80 của 7, 11, 15, … là 7 + 79 × 4 = 323.
Bài 2: Dãy 12, 17, 22, …, 202 có (202 – 12) : 5 + 1 = 39 số.
Bài 3: 3 + 6 + … + 300 có 100 số, tổng = (3 + 300) × 100 : 2 = 15 150.
Học tiếp theo chuyên đề
Dạng tìm vị trí của một số trong dãy cách đều
Với dãy a, a + d, a + 2d,… nếu số X thuộc dãy thì số khoảng cách từ a đến X là (X – a) : d. Vị trí của X bằng số khoảng cách + 1.
Ví dụ: số 152 trong dãy 5, 8, 11,… có vị trí (152 – 5) : 3 + 1 = 50.
Dạng chèn số và đếm khoảng
Giữa số hạng đầu và số hạng cuối có “số số hạng – 1” khoảng. Đây là lý do nhiều bài rào cây, cột mốc hoặc dãy điểm dễ nhầm cộng 1. Nếu có 21 cột đặt đều trên một đoạn thẳng từ đầu đến cuối thì có 20 khoảng.
Dãy theo chu kỳ và vị trí rất lớn
Chu kỳ A, B, C, D lặp lại có độ dài 4. Muốn tìm phần tử thứ 202, lấy 202 chia 4 được dư 2, nên vị trí tương ứng phần tử thứ hai của chu kỳ là B. Nếu chia hết thì lấy phần tử cuối chu kỳ.
Bài tự luyện nâng cao
- Dãy 7, 12, 17,… Số 302 đứng thứ mấy?
- Tính tổng 11 + 16 + … + 201.
- Chu kỳ 2, 5, 8 lặp lại. Số hạng thứ 100 là gì?
Đáp số: 60; 4134; 2. Với câu 2: có (201 – 11) : 5 + 1 = 39 số hạng, nên tổng là (11 + 201) × 39 : 2 = 4134.
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Để nối kiến thức theo đúng mạch, có thể xem tiếp các bài sau:
Ba câu hỏi nâng cao thường gặp với dãy cách đều
Với dãy 7, 11, 15, 19,… khoảng cách là 4.
Số hạng thứ n: 7 + (n – 1) × 4.
Vị trí của số X: (X – 7) : 4 + 1, với điều kiện phép chia cho kết quả nguyên.
Số số hạng từ đầu đến cuối: (số cuối – số đầu) : 4 + 1.
Kiểm tra một số có thuộc dãy không
Số 203: (203 – 7) : 4 = 49, nên 203 là số hạng thứ 50. Số 205: (205 – 7) : 4 = 49,5 nên không thuộc dãy.
Dãy có quy luật theo nhóm
1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4,… số k được lặp k lần. Để tìm vị trí, cần cộng số lượng phần tử theo nhóm: hết nhóm 4 có 1 + 2 + 3 + 4 = 10 số.
Tổng dãy cách đều
Ghép số đầu với số cuối để tạo các cặp có cùng tổng. Với 2 + 4 + … + 100 có 50 số, mỗi cặp đầu-cuối có tổng 102; công thức tương đương là (2 + 100) × 50 : 2 = 2550.