Tứ giác nội tiếp là tứ giác có bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn. Trong bài thi vào lớp 10, yêu cầu “chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn” hoặc “chứng minh tứ giác nội tiếp” xuất hiện rất thường xuyên.
1. Dấu hiệu tổng hai góc đối bằng \(180^\circ\)
Với tứ giác \(ABCD\), nếu
\(\widehat{A}+\widehat{C}=180^\circ\)
hoặc \(\widehat{B}+\widehat{D}=180^\circ\), thì \(ABCD\) nội tiếp.
Đây là dấu hiệu phổ biến nhất, đặc biệt khi bài có nhiều góc vuông.
2. Hai góc cùng nhìn một đoạn thẳng dưới một góc bằng nhau
Nếu hai điểm \(C,D\) cùng nằm về một phía của \(AB\) và
\(\widehat{ACB}=\widehat{ADB}\),
thì bốn điểm \(A,B,C,D\) cùng thuộc một đường tròn.
Cách này rất hiệu quả khi hai góc được suy ra từ tam giác đồng dạng hoặc góc tạo bởi tiếp tuyến.
3. Hai góc vuông cùng chắn một đoạn
Nếu
\(\widehat{ACB}=\widehat{ADB}=90^\circ\),
thì \(C,D\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(AB\). Do đó \(ABCD\) nội tiếp.
Trong các bài có đường cao, đây thường là cách ngắn nhất.
4. Góc ngoài bằng góc trong đối diện
Với tứ giác lồi, một tứ giác nội tiếp có tính chất: góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong ở đỉnh đối diện. Chiều đảo cũng có thể dùng làm dấu hiệu chứng minh nội tiếp.
5. Quy trình giải bài
- Xác định bốn điểm cần chứng minh cùng thuộc một đường tròn.
- Tìm xem có cặp góc vuông nào không.
- Nếu không, tìm hai góc bằng nhau cùng chắn một đoạn.
- Hoặc tính tổng một cặp góc đối.
- Sau khi có nội tiếp, tận dụng ngay các góc nội tiếp cùng chắn cung để giải phần tiếp theo.
6. Ví dụ
Cho tam giác \(ABC\) có hai đường cao \(BE,CF\) cắt nhau tại \(H\), với \(E\in AC\), \(F\in AB\). Chứng minh \(B,C,E,F\) cùng thuộc một đường tròn.
Ta có \(BE\perp AC\) nên \(\widehat{BEC}=90^\circ\). Tương tự \(CF\perp AB\) nên \(\widehat{BFC}=90^\circ\). Hai điểm \(E,F\) cùng nhìn đoạn \(BC\) dưới góc vuông, vì vậy \(B,C,E,F\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\).
7. Bài tập tự luyện
- Cho tam giác \(ABC\), đường cao \(BD,CE\). Chứng minh \(B,C,D,E\) nội tiếp.
- Cho tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat{A}=70^\circ\), \(\widehat{C}=110^\circ\). Chứng minh tứ giác nội tiếp.
- Cho \(\widehat{ACB}=\widehat{ADB}\). Nêu điều kiện vị trí cần thiết và chứng minh \(ABCD\) nội tiếp.
Xem thêm cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp và Chuyên đề Hình học THCS.
8. Câu hỏi thường gặp
Hai góc đối bù nhau là điều kiện cần hay đủ?
Với một tứ giác, tổng hai góc đối bằng \(180^\circ\) là một dấu hiệu đủ để kết luận tứ giác nội tiếp, đồng thời cũng là tính chất của mọi tứ giác nội tiếp.
Hai góc vuông vì sao suy ra nội tiếp?
Nếu \(\widehat{ACB}=\widehat{ADB}=90^\circ\), cả \(C\) và \(D\) đều nằm trên đường tròn đường kính \(AB\). Đây là cách nhìn rất nhanh trong bài có hai đường cao.
Sau khi chứng minh nội tiếp nên làm gì?
Hãy lập tức tìm các cặp góc nội tiếp cùng chắn một cung, các góc bù nhau hoặc quan hệ giữa góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến. Nhiều bài thi dùng bước nội tiếp như “chìa khóa” để giải các ý sau.
9. Bài tập thêm
Cho hình chữ nhật \(ABCD\). Vì \(\widehat{A}=\widehat{C}=90^\circ\), ta có \(\widehat{A}+\widehat{C}=180^\circ\), nên mọi hình chữ nhật đều là tứ giác nội tiếp.