Dạng làm chung – làm riêng thường xuất hiện trong bài toán năng suất. Cách thống nhất và dễ nhớ nhất là coi toàn bộ công việc bằng \(1\).
1. Công thức năng suất
Nếu một người làm một mình xong công việc trong \(a\) giờ, năng suất mỗi giờ là:
\(\dfrac{1}{a}\).
Nếu hai người cùng làm với năng suất lần lượt \(\dfrac{1}{a}\) và \(\dfrac{1}{b}\), năng suất chung là:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\).
2. Ví dụ cơ bản
Đội A làm một mình xong công việc trong 6 giờ, đội B làm một mình trong 4 giờ. Hỏi hai đội cùng làm thì bao lâu xong?
Năng suất chung:
\(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{12}\).
Thời gian hoàn thành là:
\(\dfrac{1}{5/12}=\dfrac{12}{5}=2{,}4\) giờ, tức 2 giờ 24 phút.
3. Dạng biết thời gian làm chung, tìm thời gian làm riêng
Hai người cùng làm xong trong 4 giờ. Người thứ nhất làm một mình nhanh hơn người thứ hai 6 giờ. Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình là \(x\) giờ, \(x>4\). Khi đó người thứ hai cần \(x+6\) giờ.
Ta có:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+6}=\dfrac{1}{4}\).
Giải phương trình và chọn nghiệm thỏa điều kiện.
4. Dạng làm chung một thời gian rồi tách ra
Cần chia công việc thành từng giai đoạn. Lượng công việc hoàn thành trong mỗi giai đoạn bằng:
Năng suất × thời gian = phần công việc hoàn thành.
Tổng lượng công việc của các giai đoạn bằng \(1\).
5. Dùng hệ phương trình
Nếu đề đồng thời cho hai mối quan hệ về thời gian hoặc năng suất, đặt năng suất hai người là \(x,y\) thường giúp hệ phương trình gọn hơn so với đặt thời gian.
6. Lỗi thường gặp
- Cộng thời gian thay vì cộng năng suất.
- Không quy ước toàn bộ công việc bằng \(1\).
- Nhầm “nhanh hơn 2 giờ” thành năng suất hơn \(2\).
- Không đổi phút sang giờ.
7. Bài tập tự luyện
- Một người làm xong việc trong 10 giờ, người kia trong 15 giờ. Cùng làm thì bao lâu xong?
- Hai vòi cùng chảy đầy bể trong 6 giờ; vòi thứ nhất một mình đầy bể trong 10 giờ. Hỏi vòi thứ hai một mình cần bao lâu?
- Hai đội cùng làm 3 giờ được \(\dfrac{1}{2}\) công việc. Nếu năng suất đội A gấp đôi đội B, tìm thời gian mỗi đội làm một mình.
Đáp số: 6 giờ; 15 giờ; đội A 9 giờ, đội B 18 giờ.
Xem thêm bài toán năng suất và tỉ lệ phần trăm.
8. Câu hỏi thường gặp
Vì sao coi toàn bộ công việc bằng 1?
Đây là quy ước giúp biến “phần việc” thành phân số đơn giản. Nếu người A làm một mình xong trong 5 giờ thì mỗi giờ làm \(\dfrac{1}{5}\) công việc.
Năng suất gấp đôi có nghĩa thời gian thế nào?
Nếu cùng làm một công việc, năng suất gấp đôi thì thời gian chỉ bằng một nửa. Hai đại lượng này tỉ lệ nghịch.
Bài vòi nước có cùng cách làm không?
Có. Vòi chảy vào được coi là năng suất dương; vòi tháo ra có thể được coi là năng suất âm nếu đang làm giảm lượng nước trong bể.
9. Ví dụ thêm
Một vòi đầy bể trong 8 giờ, vòi thứ hai trong 12 giờ. Cùng mở, năng suất là \(\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{5}{24}\), nên thời gian đầy bể là \(\dfrac{24}{5}=4{,}8\) giờ.