Phương trình nghiệm nguyên là phương trình yêu cầu tìm các nghiệm nguyên của một hay nhiều ẩn. Đây là mạch bài quen thuộc trong bồi dưỡng HSG THCS và thi chuyên. Điểm khác với phương trình thông thường là ta phải khai thác thêm điều kiện “nghiệm là số nguyên”, vì thế các công cụ chia hết, số dư, chẵn lẻ và phân tích nhân tử thường hiệu quả hơn việc biến đổi đại số thuần túy.
1. Quy trình chung khi gặp phương trình nghiệm nguyên
- Đưa phương trình về dạng gọn nhất; ưu tiên chuyển về tích hoặc dạng chia hết.
- Xác định điều kiện về dấu, chẵn lẻ, ước số hoặc số dư.
- Khoanh vùng nghiệm nếu biểu thức có thể đánh giá trên/dưới.
- Kiểm tra lại các nghiệm tìm được trong phương trình ban đầu.
2. Phương pháp 1: Phân tích thành nhân tử
Ví dụ, giải trong số nguyên:
\(xy+x+y=11\).
Ta cộng \(1\) hai vế:
\(xy+x+y+1=12\), nên \((x+1)(y+1)=12\).
Vì \(x,y\) nguyên nên \(x+1\) và \(y+1\) là các ước nguyên của \(12\). Ta xét các cặp ước có tích bằng \(12\), từ đó suy ra các cặp nghiệm.
Mẹo: với dạng \(xy+ax+by=c\), hãy thử tạo tích \((x+b)(y+a)\).
3. Phương pháp 2: Dùng tính chia hết
Ví dụ, giải \(x^2-x=2y\) trong số nguyên. Vì
\(x^2-x=x(x-1)\),
mà hai số nguyên liên tiếp luôn có một số chẵn, nên vế trái luôn chia hết cho \(2\). Do đó với mọi \(x\in\mathbb{Z}\), ta có \(y=\dfrac{x(x-1)}{2}\in\mathbb{Z}\). Bài toán có vô số nghiệm:
\((x,y)=\left(x,\dfrac{x(x-1)}{2}\right)\), với \(x\in\mathbb{Z}\).
4. Phương pháp 3: Xét chẵn lẻ và số dư
Ví dụ, chứng minh phương trình \(x^2+y^2=4k+3\) không có nghiệm nguyên.
Bình phương một số nguyên khi chia cho \(4\) chỉ có thể dư \(0\) hoặc \(1\). Vì thế \(x^2+y^2\) khi chia cho \(4\) chỉ có thể dư \(0,1\) hoặc \(2\), không thể dư \(3\). Suy ra phương trình vô nghiệm nguyên.
Đây là cách dùng modulo rất điển hình.
5. Phương pháp 4: Đưa về ước số hữu hạn
Giải \(x(y-2)=5\) trong số nguyên.
Vì \(x\) là ước của \(5\), nên \(x\in\{-5,-1,1,5\}\). Với mỗi giá trị \(x\), tính \(y=2+\dfrac{5}{x}\). Ta thu được:
- \(x=1\Rightarrow y=7\);
- \(x=5\Rightarrow y=3\);
- \(x=-1\Rightarrow y=-3\);
- \(x=-5\Rightarrow y=1\).
6. Phương pháp 5: Đánh giá để chặn nghiệm
Ví dụ, tìm nghiệm nguyên không âm của \(x^2+y^2=25\). Vì \(0\le x,y\le5\), số trường hợp cần thử rất ít. Các cặp nghiệm không âm là:
\((0,5),(3,4),(4,3),(5,0)\).
Trong nhiều bài khó hơn, đánh giá giúp biến một bài có vô số số nguyên thành một tập hữu hạn cần xét.
7. Phương pháp 6: Hoàn thành bình phương
Ví dụ, giải \(x^2+2x-y^2=0\).
Ta có:
\((x+1)^2-y^2=1\),
nên
\((x+1-y)(x+1+y)=1\).
Hai thừa số nguyên có tích bằng \(1\), vì vậy chỉ có hai khả năng \((1,1)\) hoặc \((-1,-1)\). Từ đó suy ra \(y=0\) và \(x=0\) hoặc \(x=-2\).
8. Bài tập tự luyện
- Giải \(xy+x+y=7\) trong số nguyên.
- Chứng minh \(x^2+y^2=8k+6\) không có nghiệm nguyên.
- Giải \(x^2-y^2=15\) trong số nguyên dương.
- Tìm số nguyên \(x\) để \(\dfrac{x+5}{x-2}\) là số nguyên.
Gợi ý nhanh: Bài 1 thêm \(1\) hai vế; Bài 2 xét modulo \(8\), vì bình phương số nguyên modulo \(8\) chỉ có thể dư \(0,1,4\); Bài 3 phân tích hiệu hai bình phương; Bài 4 viết \(\dfrac{x+5}{x-2}=1+\dfrac{7}{x-2}\).
9. Lỗi thường gặp
- Giải trên số thực rồi quên điều kiện nghiệm nguyên.
- Xét modulo nhưng không liệt kê đầy đủ các số dư có thể có.
- Chỉ xét ước dương trong khi phương trình cho phép số nguyên âm.
- Biến đổi tương đương chưa chắc chắn nhưng không thử lại nghiệm.
Xem thêm Chuyên đề Số học THCS, ứng dụng đồng dư và các phương pháp chứng minh chia hết.