Bài toán vòi nước là dạng vận dụng phân số và công việc chung, phù hợp học sinh lớp 5 khá giỏi hoặc ôn vào lớp 6. Ta coi cả bể là 1 bể, rồi tính mỗi giờ từng vòi làm đầy hoặc làm vơi bao nhiêu phần.
1. Một vòi
Vòi chảy đều đầy bể trong 6 giờ thì mỗi giờ chảy 1/6 bể. Sau 2 giờ được 2/6 = 1/3 bể.
2. Hai vòi cùng chảy
A đầy trong 6 giờ: 1/6 bể/giờ. B đầy trong 3 giờ: 1/3 bể/giờ. Cùng chảy được 1/2 bể/giờ, nên 2 giờ đầy.
3. Có vòi thoát
Vòi vào 1/4 bể/giờ, vòi thoát 1/10 bể/giờ. Lượng tăng thực tế: 1/4 − 1/10 = 3/20 bể/giờ. Nếu bể rỗng, thời gian đầy là 1 : 3/20 = 20/3 giờ = 6 giờ 40 phút.
4. Bể đã có sẵn nước
Bể có 1/4, vòi vào 1/8 bể/giờ. Còn thiếu 3/4, thời gian là 3/4 : 1/8 = 6 giờ.
5. Mở vòi theo giai đoạn
A đầy bể trong 8 giờ, B trong 4 giờ. A chảy một mình 2 giờ được 1/4 bể, còn 3/4. Sau đó hai vòi cùng chảy với năng suất 1/8 + 1/4 = 3/8 bể/giờ; cần thêm 3/4 : 3/8 = 2 giờ. Tổng 4 giờ.
6. Khi bể không thể đầy
Nếu vòi thoát nhanh bằng hoặc nhanh hơn tổng vòi vào thì lượng nước không tăng. Ví dụ vào 1/6 nhưng thoát 1/5 bể/giờ thì không thể làm đầy một bể đang chưa đầy khi hai vòi cùng mở.
7. Quy trình giải
- Coi cả bể là 1.
- Đổi thời gian đầy/cạn thành phần bể mỗi giờ.
- Cộng vòi vào, trừ vòi ra trong cùng giai đoạn.
- Tính phần còn thiếu.
- Lấy phần còn thiếu chia năng suất thực tế.
- Đổi giờ–phút nếu cần.
8. Lỗi thường gặp
- Cộng thời gian đầy bể thay vì cộng năng suất.
- Quên trừ vòi thoát.
- Bể có sẵn nước nhưng tính như bể rỗng.
- Không chia giai đoạn khi thời điểm mở vòi khác nhau.
9. Bài tập
- A đầy 4 giờ, B đầy 12 giờ. Cùng chảy bao lâu?
- Vòi vào 1/5, vòi thoát 1/20 bể/giờ. Mỗi giờ tăng bao nhiêu?
- Bể có 2/5, vòi vào 1/10 bể/giờ. Bao lâu đầy?
- A đầy 6 giờ, B đầy 3 giờ. A chảy 1 giờ rồi mở cả hai. Tổng thời gian?
Đáp án
- 1/4 + 1/12 = 1/3, nên 3 giờ.
- 3/20 bể/giờ.
- Còn 3/5; 3/5 : 1/10 = 6 giờ.
- Sau 1 giờ có 1/6, còn 5/6. Hai vòi được 1/2/giờ; cần 5/3 giờ = 1 giờ 40 phút. Tổng 2 giờ 40 phút.
10. Đổi giờ và phút chính xác
Khi kết quả là phân số giờ, phải đổi đúng. Ví dụ 20/3 giờ = 6 + 2/3 giờ. Vì 2/3 giờ = 2/3 × 60 = 40 phút nên kết quả là 6 giờ 40 phút. Không được viết 6 giờ 20 phút.
11. Ví dụ vòi thoát mở sau
Bể rỗng, vòi vào mỗi giờ 1/4 bể. Sau 2 giờ có 1/2 bể. Từ đó mở thêm vòi thoát 1/12 bể/giờ; lượng tăng thực tế là 1/4 − 1/12 = 1/6 bể/giờ. Phần còn thiếu 1/2 nên cần 1/2 : 1/6 = 3 giờ nữa. Tổng thời gian là 5 giờ.
12. Kiểm tra bằng so sánh tốc độ
Hai vòi cùng chảy phải làm đầy nhanh hơn từng vòi riêng nếu đều là vòi vào. Trong ví dụ A 6 giờ, B 3 giờ, kết quả chung 2 giờ là hợp lí vì nhỏ hơn 3 giờ. Nếu tính ra 4 giờ thì chắc chắn có lỗi.
13. Câu hỏi thường gặp
Có cộng “6 giờ + 3 giờ” không?
Không. Thời gian không phải năng suất. Phải đổi thành 1/6 và 1/3 bể mỗi giờ rồi cộng.
Nếu bể tràn thì sao?
Bài toán chuẩn thường dừng đúng lúc đầy. Nếu đề cho các vòi tiếp tục chảy sau khi đầy, phải đọc thêm điều kiện về tràn hoặc dung tích.
Sơ đồ năng suất giúp tránh cộng nhầm thời gian
Một vòi đầy bể trong 4 giờ có năng suất 1/4 bể mỗi giờ; vòi thoát hết bể trong 10 giờ có năng suất −1/10 bể mỗi giờ. Khi cùng mở, lượng nước thực tăng 1/4 − 1/10 = 3/20 bể mỗi giờ.
Bài hai giai đoạn
Bể đang có 1/5 bể. Vòi A chảy 1/10 bể/giờ trong 2 giờ, nên bể có 2/5. Sau đó mở thêm B có năng suất 1/5 bể/giờ; tổng năng suất lúc này là 3/10 bể/giờ. Còn thiếu 3/5 bể, nên cần (3/5):(3/10)=2 giờ. Tổng thời gian từ lúc mở A là 4 giờ.
Khi năng suất thực bằng 0, mực nước không đổi. Khi năng suất thực âm, bể đang vơi đi; không thể hỏi “bao lâu đầy” trong trạng thái đó nếu không có thay đổi khác.