Khoảng cách và góc trong Oxyz quy về vectơ, tích vô hướng và phương trình mặt phẳng. Học theo cấu trúc thay vì nhớ rời rạc giúp dùng cùng một kỹ thuật cho nhiều bài.
Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Phương trình mặt phẳng trong Oxyz để nắm các kiến thức nền liên quan.
Kiến thức cần nhớ
- Khoảng cách từ \(M(x_0,y_0,z_0)\) đến \(Ax+By+Cz+D=0\): \(|Ax_0+By_0+Cz_0+D|/\sqrt{A^2+B^2+C^2}\).
- Góc giữa hai đường dùng hai vectơ chỉ phương.
- Góc giữa hai mặt phẳng dùng hai vectơ pháp tuyến.
- Góc giữa đường và mặt phẳng là góc phụ với góc giữa vectơ chỉ phương đường và pháp tuyến mặt phẳng.
Phương pháp giải theo từng bước
- Xác định đúng hai đối tượng và chọn vectơ đại diện.
- Dùng tích vô hướng để tính cos của góc giữa hai vectơ.
- Với khoảng cách điểm–mặt, thế tọa độ vào công thức.
- Chọn góc nhọn theo quy ước khi đề hỏi góc giữa hai đường/hai mặt.
Ví dụ 1
Bài toán: Tính khoảng cách từ \(M(1,0,2)\) đến \(x+2y+2z-5=0\).
Lời giải: Tử số \(|1+0+4-5|=0\), nên khoảng cách bằng 0; M nằm trên mặt phẳng.
Ví dụ 2
Bài toán: Hai mặt phẳng có pháp tuyến \((1,0,0)\) và \((0,1,0)\).
Lời giải: Hai pháp tuyến vuông góc, nên hai mặt phẳng vuông góc.
Lỗi thường gặp
- Quên hệ số z trong mẫu căn khoảng cách.
- Nhầm góc đường–mặt với góc giữa chỉ phương và pháp tuyến.
- Không lấy giá trị tuyệt đối khi cần góc nhọn.
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Viết tên vectơ bên cạnh công thức cos để tránh dùng nhầm.
- Nếu điểm làm tử số khoảng cách bằng 0, nhận ra ngay điểm thuộc mặt phẳng.
Bài tự luyện
- Bài 1: Khoảng cách từ O đến \(2x-y+2z-3=0\). Đáp án/Gợi ý: \(3/3=1\).
- Bài 2: Hai đường có chỉ phương \((1,1,0)\) và \((1,-1,0)\). Đáp án/Gợi ý: Vuông góc.
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Tọa độ Oxyz.