Mặt cầu trong Oxyz là mở rộng trực tiếp của đường tròn trong Oxy. Dạng chuẩn cho phép đọc ngay tâm, bán kính; dạng khai triển được xử lý bằng hoàn thành bình phương theo ba biến.
Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Phương trình mặt phẳng trong Oxyz để nắm các kiến thức nền liên quan.
Kiến thức cần nhớ
- Dạng chuẩn: \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\), tâm \(I(a,b,c)\).
- Mặt cầu tâm I đi qua A có \(R^2=IA^2\).
- Dạng khai triển \(x^2+y^2+z^2+Dx+Ey+Fz+G=0\) có thể hoàn thành bình phương.
- Điều kiện mặt cầu thực là \(R^2>0\).
Phương pháp giải theo từng bước
- Nếu biết tâm và bán kính, viết dạng chuẩn ngay.
- Nếu biết tâm và một điểm, tính bình phương khoảng cách.
- Nếu ở dạng khai triển, nhóm theo x, y, z và hoàn thành bình phương.
- Kiểm tra tâm bằng cách thay dấu đúng trong các ngoặc.
Ví dụ 1
Bài toán: Viết mặt cầu tâm \(I(1,-2,3)\), bán kính 4.
Lời giải: \((x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=16\).
Ví dụ 2
Bài toán: Mặt cầu tâm O đi qua \(A(1,2,2)\).
Lời giải: \(R^2=1+4+4=9\), nên \(x^2+y^2+z^2=9\).
Lỗi thường gặp
- Đọc sai dấu tọa độ tâm.
- Quên bình phương bán kính.
- Hoàn thành bình phương một biến nhưng quên cộng bù vào hằng số.
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Đối chiếu từng ngoặc với \(x-a,y-b,z-c\).
- Trong bài tiếp xúc, bán kính thường bằng khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng hoặc đường thích hợp.
Ba dạng lập phương trình mặt cầu thường gặp
1. Biết tâm và một điểm thuộc mặt cầu
Nếu tâm là \(I(a,b,c)\) và \(A\) thuộc mặt cầu thì \(R^2=IA^2\). Tính bình phương khoảng cách giúp tránh phải lấy căn rồi lại bình phương.
2. Biết hai đầu mút của một đường kính
Với đường kính \(AB\), tâm là trung điểm của \(AB\) và \(R^2=\dfrac{AB^2}{4}\). Sau khi tìm tâm, viết ngay phương trình dạng chuẩn.
3. Biết tâm và mặt phẳng tiếp xúc
Nếu mặt cầu tâm \(I\) tiếp xúc mặt phẳng \((P)\) thì bán kính bằng khoảng cách từ \(I\) đến \((P)\). Dạng này liên hệ trực tiếp với công thức khoảng cách trong Oxyz.
Ví dụ 3: mặt cầu có đường kính AB
Bài toán: Viết phương trình mặt cầu có đường kính \(AB\), với \(A(1,0,0)\), \(B(3,2,2)\).
Lời giải: Trung điểm \(I(2,1,1)\). Ta có \(AB^2=2^2+2^2+2^2=12\), nên \(R^2=AB^2/4=3\). Phương trình là \((x-2)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=3\).
Đọc nhanh tâm và bán kính từ dạng khai triển
Với \(x^2+y^2+z^2+Dx+Ey+Fz+G=0\), tâm là \(I\left(-\dfrac D2,-\dfrac E2,-\dfrac F2\right)\) và \(R^2=\dfrac{D^2+E^2+F^2}{4}-G\). Chỉ khi \(R^2>0\) phương trình mới biểu diễn một mặt cầu thực có bán kính dương.
Bài tự luyện
- Bài 1: Tâm \((2,0,-1)\), bán kính 3. Đáp án/Gợi ý: \((x-2)^2+y^2+(z+1)^2=9\).
- Bài 2: Mặt cầu tâm O bán kính \(\sqrt5\). Đáp án/Gợi ý: \(x^2+y^2+z^2=5\).
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Tọa độ Oxyz.