Công thức khoảng cách và góc trong Oxy thường đi cùng phương trình đường thẳng. Cần chuẩn hóa đúng hệ số của đường thẳng và phân biệt góc giữa hai vectơ với góc giữa hai đường thẳng.
Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Tích vô hướng của hai vectơ để nắm các kiến thức nền liên quan.
Kiến thức cần nhớ
- Khoảng cách từ \(M(x_0,y_0)\) đến \(Ax+By+C=0\): \(d=|Ax_0+By_0+C|/\sqrt{A^2+B^2}\).
- Góc giữa hai đường thẳng có thể tính qua hai vectơ pháp tuyến hoặc chỉ phương.
- Hai đường vuông góc khi tích vô hướng của các vectơ chỉ phương bằng 0.
- Khoảng cách luôn không âm nên công thức có giá trị tuyệt đối.
Các công thức chỉ hiệu quả khi dùng đúng điều kiện. Với bài có tham số, căn, mẫu, logarit hoặc lượng giác, nên ghi điều kiện ngay từ đầu thay vì bổ sung sau khi đã biến đổi.
Phương pháp giải theo từng bước
- Đưa đường thẳng về dạng tổng quát.
- Thế tọa độ điểm vào tử số của công thức khoảng cách.
- Với góc, chọn hai vectơ cùng loại rồi dùng tích vô hướng.
- Nếu đề hỏi góc nhọn giữa hai đường, lấy giá trị tuyệt đối phù hợp trong công thức cos.
Sau mỗi bước quan trọng, nên tự hỏi phép biến đổi có tương đương hay chỉ là điều kiện cần. Thói quen này đặc biệt hữu ích khi bình phương hai vế, nhân chia với biểu thức chưa biết dấu hoặc đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1
Bài toán: Tính khoảng cách từ \(M(1,2)\) đến \(3x+4y-10=0\).
Lời giải: \(d=|3+8-10|/5=1/5\).
Ví dụ 2
Bài toán: Hai đường có pháp tuyến \(n_1=(1,1)\), \(n_2=(1,-1)\). Kết luận quan hệ.
Lời giải: Tích vô hướng bằng 0 nên hai pháp tuyến vuông góc, do đó hai đường thẳng cũng vuông góc.
Lỗi thường gặp
- Quên giá trị tuyệt đối trong khoảng cách.
- Dùng hệ số C trong mẫu căn.
- Nhầm điều kiện song song và vuông góc.
Nếu kết quả cuối là một khoảng nghiệm, một giá trị cực trị hoặc một số đo hình học, hãy kiểm tra nhanh bằng cách thế ngược, ước lượng hoặc đối chiếu với hình vẽ. Một bước kiểm tra ngắn thường phát hiện được lỗi dấu hoặc lỗi điều kiện.
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Rút gọn hệ số đường thẳng không làm thay đổi khoảng cách nếu dùng cả tử và mẫu nhất quán.
- Với góc, nên dùng vectơ có số nhỏ để giảm phép tính.
Trong bài tự luận, nên viết đủ điều kiện, công thức được sử dụng và kết luận. Không nên thay toàn bộ lập luận bằng kết quả máy tính cầm tay hoặc hình vẽ phần mềm.
Bài tự luyện
- Bài 1: Khoảng cách từ O đến \(x-y+2=0\). Đáp án/Gợi ý: \(2/\sqrt2=\sqrt2\).
- Bài 2: Hai đường có vectơ chỉ phương \((1,2)\) và \((2,-1)\). Đáp án/Gợi ý: Vuông góc vì tích vô hướng bằng 0.
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Vectơ – Tọa độ Oxy. Nên học bài P1 nền tảng trước, sau đó chuyển sang các dạng P2 để tăng khả năng nhận dạng và phối hợp phương pháp.