Công thức khoảng cách và góc trong Oxy thường đi cùng phương trình đường thẳng. Cần chuẩn hóa đúng hệ số của đường thẳng và phân biệt góc giữa hai vectơ với góc giữa hai đường thẳng.
Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Tích vô hướng của hai vectơ để nắm các kiến thức nền liên quan.
Kiến thức cần nhớ
- Khoảng cách từ \(M(x_0,y_0)\) đến \(Ax+By+C=0\): \(d=|Ax_0+By_0+C|/\sqrt{A^2+B^2}\).
- Góc giữa hai đường thẳng có thể tính qua hai vectơ pháp tuyến hoặc chỉ phương.
- Hai đường vuông góc khi tích vô hướng của các vectơ chỉ phương bằng 0.
- Khoảng cách luôn không âm nên công thức có giá trị tuyệt đối.
Phương pháp giải theo từng bước
- Đưa đường thẳng về dạng tổng quát.
- Thế tọa độ điểm vào tử số của công thức khoảng cách.
- Với góc, chọn hai vectơ cùng loại rồi dùng tích vô hướng.
- Nếu đề hỏi góc nhọn giữa hai đường, lấy giá trị tuyệt đối phù hợp trong công thức cos.
Ví dụ 1
Bài toán: Tính khoảng cách từ \(M(1,2)\) đến \(3x+4y-10=0\).
Lời giải: \(d=|3+8-10|/5=1/5\).
Ví dụ 2
Bài toán: Hai đường có pháp tuyến \(n_1=(1,1)\), \(n_2=(1,-1)\). Kết luận quan hệ.
Lời giải: Tích vô hướng bằng 0 nên hai pháp tuyến vuông góc, do đó hai đường thẳng cũng vuông góc.
Lỗi thường gặp
- Quên giá trị tuyệt đối trong khoảng cách.
- Dùng hệ số C trong mẫu căn.
- Nhầm điều kiện song song và vuông góc.
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Rút gọn hệ số đường thẳng không làm thay đổi khoảng cách nếu dùng cả tử và mẫu nhất quán.
- Với góc, nên dùng vectơ có số nhỏ để giảm phép tính.
Bài tự luyện
- Bài 1: Khoảng cách từ O đến \(x-y+2=0\). Đáp án/Gợi ý: \(2/\sqrt2=\sqrt2\).
- Bài 2: Hai đường có vectơ chỉ phương \((1,2)\) và \((2,-1)\). Đáp án/Gợi ý: Vuông góc vì tích vô hướng bằng 0.
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Vectơ – Tọa độ Oxy.