Giới hạn dãy số giúp mô tả xu hướng của \(u_n\) khi \(n\) rất lớn. Các bài cơ bản thường dựa vào chia cho lũy thừa bậc cao nhất, dùng giới hạn chuẩn hoặc kẹp giữa hai dãy dễ tính hơn.
Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi để nắm các kiến thức nền liên quan.
Kiến thức cần nhớ
- \(1/n^k\to0\) với \(k>0\).
- Nếu \(|q|\lt 1\) thì \(q^n\to0\); nếu \(q>1\) thì \(q^n\) tăng không bị chặn.
- Với phân thức theo \(n\), chia tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của \(n\).
- Quy tắc cộng, trừ, nhân, chia áp dụng khi các giới hạn thành phần tồn tại và phép chia có mẫu giới hạn khác 0.
Phương pháp giải theo từng bước
- Nhận dạng loại biểu thức: đa thức, phân thức, lũy thừa hay căn.
- Chuẩn hóa bằng cách chia cho tốc độ tăng lớn nhất.
- Áp dụng giới hạn chuẩn và quy tắc đại số.
- Nếu gặp hiệu hai căn lớn, nhân liên hợp để tránh dạng \(\infty-\infty\).
Ví dụ 1
Bài toán: Tính \(\lim (3n^2+1)/(2n^2-n)\).
Lời giải: Chia cả tử và mẫu cho \(n^2\): giới hạn bằng \(3/2\).
Ví dụ 2
Bài toán: Tính \(\lim(\sqrt{n^2+n}-n)\).
Lời giải: Nhân liên hợp: biểu thức bằng \(n/(\sqrt{n^2+n}+n)=1/(\sqrt{1+1/n}+1)\), nên giới hạn là \(1/2\).
Lỗi thường gặp
- Thay “\(n=\infty\)” như một số cụ thể.
- Bỏ qua dạng vô định \(\infty/\infty\) hoặc \(\infty-\infty\).
- Nhân liên hợp nhưng không chia đúng cho \(n\).
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Hãy xác định “thành phần tăng nhanh nhất” trước khi biến đổi.
- Sau biến đổi, kiểm tra xem biểu thức đã về các giới hạn chuẩn chưa.
Bài tự luyện
- Bài 1: Tính \(\lim (5n-2)/(n+7)\). Đáp án/Gợi ý: Giới hạn bằng 5.
- Bài 2: Tính \(\lim (1/2)^n\). Đáp án/Gợi ý: Bằng 0.
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Dãy số – Giới hạn – Liên tục.