Đồ thị hàm bậc hai xuất hiện từ lớp 10 nhưng tiếp tục được dùng trong bài giao điểm, tham số và mô hình hóa. Nắm chắc đỉnh, trục đối xứng và phương trình hoành độ giao điểm giúp xử lý nhiều bài mà không cần vẽ quá chi tiết.
Khi dùng giao điểm của parabol để suy ra số nghiệm, nên xem thêm phương pháp biện luận số nghiệm bằng đồ thị hàm số để liên hệ hình học với phương trình.
Kiến thức cần nhớ
- Với \(y=ax^2+bx+c\), trục đối xứng là \(x=-b/(2a)\).
- Đỉnh có hoành độ \(x_I=-b/(2a)\), tung độ \(y_I=f(x_I)\).
- Nếu \(a>0\), parabol mở lên; nếu \(a\lt 0\), parabol mở xuống.
- Giao điểm của hai đồ thị được tìm bằng cách giải phương trình \(f(x)=g(x)\).
Phương pháp giải theo từng bước
- Tính trục đối xứng và đỉnh trước.
- Tìm một số điểm đặc biệt: giao với trục tung, nghiệm nếu có.
- Khi xét giao điểm với đường thẳng, lập phương trình hoành độ giao điểm.
- Dùng biệt thức để biện luận 0, 1 hay 2 giao điểm.
Ví dụ 1
Bài toán: Tìm đỉnh của \(y=x^2-4x+1\).
Lời giải: Ta có \(x_I=2\), \(y_I=f(2)=-3\). Đỉnh là \(I(2,-3)\), trục đối xứng \(x=2\).
Ví dụ 2
Bài toán: Tìm \(m\) để đường thẳng \(y=2x+m\) tiếp xúc với parabol \(y=x^2\).
Lời giải: Hoành độ giao điểm thỏa \(x^2=2x+m\), hay \(x^2-2x-m=0\). Tiếp xúc khi \(\Delta=4+4m=0\), suy ra \(m=-1\).
Lỗi thường gặp
- Nhầm dấu trong công thức \(-b/(2a)\).
- Cho rằng phương trình có nghiệm kép là đủ mà không kiểm tra đúng phương trình giao điểm.
- Vẽ đồ thị theo cảm tính rồi kết luận số giao điểm.
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Nếu chỉ cần số giao điểm, thường không cần tính tọa độ đầy đủ.
- Có thể hoàn thành bình phương để nhìn nhanh đỉnh và chiều mở.
Bài tự luyện
- Bài 1: Tìm đỉnh của \(y=-2x^2+8x-5\). Đáp án/Gợi ý: Đỉnh có hoành độ 2, tung độ 3.
- Bài 2: Tìm số giao điểm của \(y=x^2-1\) và \(y=x+1\). Đáp án/Gợi ý: Giải \(x^2-x-2=0\), có hai nghiệm nên có hai giao điểm.
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Đại số & Hàm số THPT.