Mô hình hóa là chuyển câu chữ thành biến, quan hệ và hàm số. Một mô hình tốt không chỉ đúng công thức mà còn đúng miền giá trị, đơn vị và ý nghĩa thực tế của biến.
Kiến thức cốt lõi cần nắm
- Chọn biến độc lập có ý nghĩa rõ: thời gian, số lượng, chiều dài, giá bán…
- Từ quan hệ trong đề, biểu diễn đại lượng cần quan tâm thành hàm của biến đã chọn.
- Miền xác định thực tế thường hẹp hơn miền xác định đại số: chiều dài phải dương, số sản phẩm có thể phải nguyên, thời gian không âm.
- Sau khi giải mô hình toán học, cần diễn giải kết quả bằng ngôn ngữ của tình huống và kiểm tra tính hợp lý.
Quy trình giải theo từng bước
- Gạch chân dữ kiện, đơn vị và đại lượng cần tìm.
- Chọn biến và ghi điều kiện của biến.
- Lập công thức liên hệ từng bước, ưu tiên bảng hoặc sơ đồ nếu có nhiều đại lượng.
- Giải bài toán trên mô hình rồi kiểm tra và trả lời theo đơn vị ban đầu.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1
Bài toán: Một hình chữ nhật có chu vi 40 m. Gọi một cạnh là \(x\). Lập hàm diện tích.
Lời giải: Cạnh kia là \(20-x\), với \(0\lt x\lt 20\). Diện tích \(S(x)=x(20-x)\).
Ví dụ 2
Bài toán: Giá bán là \(p\) nghìn đồng, số lượng bán dự kiến \(q=1000-10p\). Lập doanh thu.
Lời giải: \(R(p)=p(1000-10p)\), với miền thực tế cần thêm điều kiện \(q\ge0\Rightarrow p\le100\) và \(p\ge0\).
Lỗi thường gặp và cách tránh
- Đặt biến nhưng không ghi đơn vị.
- Chỉ lấy miền xác định đại số mà bỏ điều kiện thực tế.
- Dùng một công thức có đơn vị không đồng nhất.
- Ra nghiệm rồi trả lời tất cả dù có nghiệm âm hoặc không nguyên trong ngữ cảnh.
Bài tập tự luyện
-
Chu vi chữ nhật 30, một cạnh x, cạnh kia
Đáp số/Gợi ý: \(15-x\)
-
Diện tích mô hình trên
Đáp số/Gợi ý: \(x(15-x)\)
-
Nếu số lượng \(q=500-5p\), điều kiện \(q\ge0\)
Đáp số/Gợi ý: \(p\le100\)
-
Thời gian t trong bài tăng trưởng thường có điều kiện
Đáp số/Gợi ý: \(t\ge0\)
Checklist trước khi kết luận
- Đã xác định rõ đại lượng đầu vào, đầu ra và đơn vị của từng biến trong mô hình?
- Miền giá trị của biến có phản ánh đúng ràng buộc thực tế, chẳng hạn thời gian không âm hoặc kích thước dương?
- Kết quả toán học cuối đã được diễn giải trở lại bằng ngôn ngữ của bài toán và kiểm tra tính hợp lý?
Một mô hình điển hình để luyện đầy đủ các bước từ dữ kiện đến hàm mục tiêu là mô hình hàm bậc hai trong bài toán thực tế.
Xem thêm các bài cùng nhóm Toán thực tế – Mô hình hóa.