Ba công thức dễ nhầm vì đều dùng giai thừa. Câu hỏi quyết định là: có chọn hết không, có chọn một phần không, và thứ tự của các phần tử được chọn có tạo kết quả khác hay không.
Kiến thức cốt lõi cần nắm
- Hoán vị \(P_n=n!\): sắp xếp toàn bộ \(n\) phần tử phân biệt theo thứ tự.
- Chỉnh hợp \(A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}\): chọn \(k\) phần tử từ \(n\) và thứ tự quan trọng.
- Tổ hợp \(C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\): chọn \(k\) phần tử từ \(n\), thứ tự không quan trọng.
- Quan hệ \(A_n^k=C_n^k k!\) phản ánh “chọn nhóm rồi sắp thứ tự trong nhóm”.
Quy trình giải theo từng bước
- Hỏi: có dùng tất cả phần tử không? Nếu có và chỉ sắp xếp, nghĩ đến hoán vị.
- Nếu chọn \(k\lt n\), hỏi tiếp: đổi thứ tự có tạo kết quả mới không?
- Có thứ tự: chỉnh hợp; không có thứ tự: tổ hợp.
- Nếu đề có điều kiện, chọn hoặc sắp phần đặc biệt trước rồi đếm phần còn lại.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1
Bài toán: Xếp 5 học sinh vào một hàng.
Lời giải: Dùng hoán vị: \(5!=120\) cách.
Ví dụ 2
Bài toán: Từ 8 học sinh chọn lớp trưởng và lớp phó.
Lời giải: Hai vị trí khác nhau nên thứ tự/vai trò quan trọng: \(A_8^2=56\) cách. Nếu chỉ chọn hai thành viên vào một tổ thì là \(C_8^2=28\).
Lỗi thường gặp và cách tránh
- Dùng tổ hợp cho bài phân vai.
- Dùng chỉnh hợp cho bài chỉ chọn một nhóm không có thứ tự.
- Quên điều kiện \(0\le k\le n\).
- Tính giai thừa sai tại \(0!=1\).
Bài tập tự luyện
-
Xếp 6 sách khác nhau trên một kệ
Đáp số/Gợi ý: 720
-
Chọn 3 học sinh từ 10
Đáp số/Gợi ý: 120
-
Chọn giải nhất, nhì, ba từ 10 người
Đáp số/Gợi ý: 720
-
\(C_7^2\)
Đáp số/Gợi ý: 21
Checklist trước khi kết luận
- Đã xác định rõ bài toán có quan tâm thứ tự hay không và có chọn toàn bộ phần tử hay chỉ một số phần tử?
- Các điều kiện n, k đã thỏa 0 ≤ k ≤ n trước khi dùng chỉnh hợp hoặc tổ hợp?
- Nếu bài có phần tử lặp hoặc điều kiện cấm, công thức cơ bản có cần điều chỉnh bằng chia trường hợp/bù không?
Những bài xác suất cần đếm số phần tử thường dùng trực tiếp các công thức ở đây; xem xác suất cổ điển để thấy cách áp dụng.
Xem thêm các bài cùng nhóm Tổ hợp – Xác suất – Thống kê.