Dãy truy hồi không cho trực tiếp \(u_n\) mà cho quan hệ giữa các số hạng. Cách làm tốt là tách hai nhiệm vụ: tính các số hạng cụ thể và chứng minh tính chất bằng quy nạp hoặc biến đổi truy hồi.
Kiến thức cốt lõi cần nắm
- Dãy bậc nhất thường có dạng \(u_{n+1}=au_n+b\) kèm số hạng đầu.
- Muốn tính \(u_4\), phải đi lần lượt từ \(u_1\) đến \(u_2,u_3,u_4\), trừ khi đã tìm được công thức tổng quát.
- Với \(u_{n+1}=au_n+b\), điểm cố định \(L\) thỏa \(L=aL+b\) giúp đặt \(v_n=u_n-L\), từ đó có thể đưa về cấp số nhân.
- Quy nạp toán học phù hợp để chứng minh dương, bị chặn hoặc một bất đẳng thức đúng với mọi \(n\).
Quy trình giải theo từng bước
- Tính 3–4 số hạng đầu để hiểu truy hồi.
- Nếu cần công thức tổng quát, tìm điểm cố định hoặc nhận dạng cấp số.
- Nếu chứng minh tính chất, viết giả thiết quy nạp và dùng truy hồi để chuyển từ \(n\) sang \(n+1\).
- Kiểm tra điều kiện khởi đầu của quy nạp.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1
Bài toán: Cho \(u_1=2, u_{n+1}=2u_n+1\). Tính \(u_4\).
Lời giải: \(u_2=5, u_3=11, u_4=23\).
Ví dụ 2
Bài toán: Tìm công thức tổng quát của dãy trên.
Lời giải: Điểm cố định thỏa \(L=2L+1\Rightarrow L=-1\). Đặt \(v_n=u_n+1\), ta có \(v_{n+1}=2v_n\), \(v_1=3\). Do đó \(v_n=3\cdot2^{n-1}\), suy ra \(u_n=3\cdot2^{n-1}-1\).
Lỗi thường gặp và cách tránh
- Dùng truy hồi nhưng bỏ quên số hạng đầu.
- Tìm được công thức dự đoán từ vài số hạng nhưng không chứng minh.
- Khi đặt dãy phụ, chọn sai điểm cố định.
- Quy nạp nhưng không kiểm tra bước cơ sở.
Bài tập tự luyện
-
\(u_1=1,u_{n+1}=u_n+3\), tính \(u_5\)
Đáp số/Gợi ý: 13
-
Dãy trên là cấp số gì?
Đáp số/Gợi ý: Cấp số cộng, công sai 3
-
\(u_1=2,u_{n+1}=3u_n\), công thức \(u_n\)
Đáp số/Gợi ý: \(2\cdot3^{n-1}\)
-
\(u_1=0,u_{n+1}=u_n+2n+1\), tính \(u_3\)
Đáp số/Gợi ý: 8
Checklist trước khi kết luận
- Đã tính tuần tự đủ các số hạng trước khi suy đoán quy luật của dãy truy hồi?
- Nếu dùng quy nạp, đã kiểm tra bước khởi đầu và chỉ rõ cách suy từ n sang n+1?
- Khi đổi biến để đưa về cấp số nhân, đã đổi ngược và kiểm tra lại số hạng đầu?
Nếu đã tìm được vài số hạng và muốn nhận dạng công thức, hãy đối chiếu với dãy số cho bởi công thức tổng quát.
Xem thêm các bài cùng nhóm Dãy số – Giới hạn – Liên tục.