Bất phương trình vô nghiệm là bất phương trình không có giá trị thực nào của \(x\) thỏa mãn. Bài viết này được xếp trong Chuyên đề Toán lớp 10 vì phần trọng tâm sử dụng dấu của tam thức bậc hai và biệt thức để tìm tham số. Phần bất phương trình bậc nhất được giữ như kiến thức nền trước khi xét trường hợp bậc hai.
1. Bất phương trình bậc nhất dạng \(ax+b\)
Với \(a\ne0\), các bất phương trình \(ax+b>0\), \(ax+b<0\), \(ax+b\ge0\), \(ax+b\le0\) đều có nghiệm. Vì vậy chúng chỉ có thể vô nghiệm khi \(a=0\).
- \(ax+b>0\) vô nghiệm khi \(a=0,\ b\le0\).
- \(ax+b<0\) vô nghiệm khi \(a=0,\ b\ge0\).
- \(ax+b\ge0\) vô nghiệm khi \(a=0,\ b<0\).
- \(ax+b\le0\) vô nghiệm khi \(a=0,\ b>0\).
Ví dụ 1
Tìm \(m\) để \((m^2-1)x+2m-1>0\) vô nghiệm.
Ta cần
\[\begin{cases}m^2-1=0\\2m-1\le0\end{cases}\]
Từ \(m^2-1=0\) suy ra \(m=\pm1\). Điều kiện \(2m-1\le0\) chỉ nhận \(m=-1\). Vậy \(m=-1\).
Ví dụ 2
Tìm \(m\) để \(m^2x-2m\le(3m-2)x+2\) vô nghiệm.
Chuyển vế:
\[(m^2-3m+2)x-2m-2\le0.\]
Bất phương trình dạng \(ax+b\le0\) vô nghiệm khi \(a=0\) và \(b>0\). Do đó
\[\begin{cases}(m-1)(m-2)=0\\-2m-2>0\end{cases}\]
Hai giá trị từ phương trình đầu là \(m=1\) và \(m=2\), nhưng cả hai đều không thỏa \(-2m-2>0\). Vậy không có giá trị \(m\).
2. Bất phương trình bậc hai – trọng tâm Toán 10
Xét tam thức \(f(x)=ax^2+bx+c\) với \(a\ne0\). Dựa vào dấu của tam thức:
- \(f(x)>0\) vô nghiệm khi \(a<0\) và \(\Delta\le0\).
- \(f(x)<0\) vô nghiệm khi \(a>0\) và \(\Delta\le0\).
- \(f(x)\ge0\) vô nghiệm khi \(a<0\) và \(\Delta<0\).
- \(f(x)\le0\) vô nghiệm khi \(a>0\) và \(\Delta<0\).
Nếu hệ số \(a\) phụ thuộc tham số, luôn xét riêng trường hợp \(a=0\) trước khi áp dụng điều kiện của tam thức bậc hai.
Ví dụ 3
Tìm \(m\) để \(x^2-2mx+4m-3\le0\) vô nghiệm.
Vì hệ số \(x^2\) bằng \(1>0\), bất phương trình vô nghiệm khi tam thức luôn dương, tức \(\Delta<0\). Dùng \(\Delta’=m^2-(4m-3)\):
\[m^2-4m+3<0\iff1<m<3.\]
Vậy \(m\in(1,3)\).
Ví dụ 4
Tìm \(m\) để \((m-1)x^2-2(m-2)x+3m-4\ge0\) vô nghiệm.
Trường hợp \(m=1\): bất phương trình trở thành \(2x-1\ge0\), có nghiệm nên loại.
Trường hợp \(m\ne1\): để tam thức luôn âm cần
\[\begin{cases}m-1<0\\\Delta’=(m-2)^2-(m-1)(3m-4)<0.\end{cases}\]
Ta có \(\Delta’=-2m^2+3m=m(3-2m)\). Vì vậy \(\Delta'<0\iff m<0\) hoặc \(m>\dfrac32\). Kết hợp \(m<1\), suy ra \(m<0\).
3. Checklist tránh sai
- Đã xét trường hợp hệ số bậc cao nhất bằng 0 chưa?
- Với dấu \(>, <\) và \(\ge,\le\), đã dùng đúng điều kiện \(\Delta<0\) hay \(\Delta\le0\) chưa?
- Đã khai triển biệt thức chính xác chưa?
- Đã thử lại giá trị tham số ở phương trình ban đầu chưa?