14 bổ đề bất đẳng thức thường gặp dưới đây là các kết quả nhỏ có thể dùng lặp lại trong bài THCS nâng cao. Khi dùng một bổ đề, luôn kiểm tra điều kiện và trường hợp dấu bằng.
Phạm vi: Đây là nội dung Toán THCS nâng cao, phù hợp học sinh khá giỏi, ôn HSG và thi vào lớp 10 chuyên; không phải toàn bộ kiến thức trong bài đều thuộc yêu cầu chính khóa.
1. Bình phương không âm
Với mọi \(a,b\in\mathbb R\): \((a-b)^2\ge0\). Dấu bằng khi \(a=b\).
2. Tổng hai bình phương
\(a^2+b^2\ge2ab\). Đây là hệ quả trực tiếp của \((a-b)^2\ge0\).
3. Chặn bình phương của tổng
\(a^2+b^2\ge\dfrac{(a+b)^2}{2}\). Dấu bằng khi \(a=b\).
4. AM-GM cho hai số
Với \(a,b\ge0\): \(a+b\ge2\sqrt{ab}\). Dấu bằng khi \(a=b\).
5. Dạng \(x+\dfrac{k}{x}\)
Với \(x>0,k>0\): \(x+\dfrac{k}{x}\ge2\sqrt{k}\). Dấu bằng khi \(x=\sqrt{k}\).
6. Ba biến và hiệu bình phương
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\), vì \(2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge0\).
7. Cauchy cho ba số
\(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{(a+b+c)^2}{3}\). Dấu bằng khi \(a=b=c\).
8. Tích khi tổng cố định
Với \(a,b\ge0\): \(ab\le\dfrac{(a+b)^2}{4}\). Nếu \(a+b=S\) cố định thì \(ab\le\dfrac{S^2}{4}\).
9. Tổng nghịch đảo đối xứng
Với \(x,y>0\): \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\). Dấu bằng khi \(x=y\).
10. Engel hai hạng tử
Với \(x,y>0\): \(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\ge\dfrac{(a+b)^2}{x+y}\).
11. Cauchy dạng tổng quát
Với các số thực \(a_i,b_i\): \((\sum a_i^2)(\sum b_i^2)\ge(\sum a_ib_i)^2\).
12. Một hệ quả của Cauchy
Với \(a,b>0\): \((a+b)\left(\dfrac1a+\dfrac1b\right)\ge4\).
13. Bất đẳng thức Nesbitt
Với \(a,b,c>0\): \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac32\). Dấu bằng khi \(a=b=c\).
14. Bất đẳng thức Schur với r=1 (dạng bậc ba)
Với \(a,b,c\ge0\): \[a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)\ge0.\] Tương đương \[a^3+b^3+c^3+3abc\ge a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b.\] Khi dùng, cần kiểm tra điều kiện các biến không âm.
Cách học các bổ đề
Mỗi bổ đề nên được ghi theo ba dòng: phát biểu – điều kiện – dấu bằng. Sau đó tự chứng minh lại ít nhất một lần và làm một bài ứng dụng. Với bài cực trị, nếu dấu bằng của bổ đề không phù hợp điều kiện đề thì đánh giá có thể chưa đủ chặt.
Hình minh họa từ tài liệu
Bài viết liên quan
- Chuyên đề Bất đẳng thức và Cực trị THCS
- Bất đẳng thức Bunhiacopxki
- Bất đẳng thức Cosi (AM-GM)
- Một số bài toán Bất đẳng thức chọn lọc thi vào 10 năm 2023
- 7 kĩ năng quan trọng khi giải các bài toán Bất đẳng thức
Cách sử dụng bộ 14 bổ đề hiệu quả
Không nên học thuộc 14 công thức theo thứ tự. Hãy chia chúng theo cấu trúc:
- nhóm từ bình phương không âm;
- nhóm AM-GM;
- nhóm Cauchy–Schwarz;
- nhóm đối xứng ba biến như Schur với \(r=1\);
- nhóm đánh giá phân thức.
Ba việc phải làm khi áp dụng bổ đề
- Kiểm tra điều kiện của biến.
- Ghép biểu thức của đề với đúng vế của bổ đề.
- Kiểm tra điều kiện dấu bằng có phù hợp bài hay không.
Ví dụ nhận dạng
Nếu đề có \(a^2+b^2\) và \((a+b)^2\), hãy nghĩ đến:
\(2(a^2+b^2)\ge(a+b)^2\).
Nếu đề có \(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\), \(x,y>0\), dạng Cauchy–Schwarz phân thức thường phù hợp.