Hệ thức lượng trong tam giác vuông là nhóm công thức quan trọng của Hình học lớp 9. Khi làm bài, học sinh nên phân biệt ba nhóm: hệ thức liên quan đến đường cao, tỉ số lượng giác của góc nhọn, và quan hệ giữa cạnh với góc trong tam giác vuông.
1. Hệ thức về cạnh và đường cao
Xét tam giác (ABC) vuông tại (A), đường cao (AH) với (Hin BC). Đặt (BC=a), (AC=b), (AB=c), (AH=h), (BH=m), (CH=n). Khi đó:
- (c^2=am);
- (b^2=an);
- (h^2=mn);
- (bc=ah);
- (dfrac{1}{h^2}=dfrac{1}{b^2}+dfrac{1}{c^2}).
Hai hệ thức đầu thường được nhớ theo câu: bình phương một cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân hình chiếu của cạnh đó trên cạnh huyền.
2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn
Với góc (B) của tam giác trên:
- (sin B=dfrac{AC}{BC}=dfrac{b}{a});
- (cos B=dfrac{AB}{BC}=dfrac{c}{a});
- (tan B=dfrac{AC}{AB}=dfrac{b}{c});
- (cot B=dfrac{AB}{AC}=dfrac{c}{b}).
Vì (B+C=90^circ), ta có (sin B=cos C), (cos B=sin C), (tan B=cot C).
3. Quan hệ giữa cạnh và góc
Từ các tỉ số lượng giác có thể suy ra:
- (b=asin B=acos C);
- (c=acos B=asin C);
- (b=ctan B);
- (c=btan C).
Khi đề cho một cạnh và một góc nhọn, nhóm công thức này thường là lựa chọn nhanh nhất.
4. Ví dụ tổng hợp
Cho tam giác (ABC) vuông tại (A), (AB=3), (AC=4).
Theo định lí Pythagore, (BC=5). Nếu (AH) là đường cao thì:
(BH=dfrac{AB^2}{BC}=dfrac{9}{5}), (CH=dfrac{AC^2}{BC}=dfrac{16}{5}).
Đồng thời:
(AH=dfrac{ABcdot AC}{BC}=dfrac{12}{5}).
Kiểm tra lại: (AH^2=BHcdot CH=dfrac{144}{25}), hoàn toàn phù hợp.
5. Cách chọn công thức
- Đề cho cạnh huyền và hình chiếu: nghĩ tới (AB^2=BHcdot BC) hoặc (AC^2=CHcdot BC).
- Đề cho hai hình chiếu: nghĩ tới (AH^2=BHcdot CH).
- Đề cho một cạnh và một góc: dùng sin, cos, tan.
- Đề yêu cầu góc: lập một tỉ số lượng giác rồi dùng máy tính đúng chế độ độ.
6. Bài tập tự luyện
- Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 6 và 8. Tính cạnh huyền và đường cao ứng với cạnh huyền.
- Tam giác vuông có cạnh huyền 13 và một cạnh góc vuông 5. Tính cạnh còn lại.
- Cho (AB=6), (BC=10) trong tam giác vuông tại (A). Tính (sin B) và (cos B).
Đáp số: (1) cạnh huyền 10, đường cao (dfrac{24}{5}); (2) 12; (3) (sin B=dfrac{4}{5}), (cos B=dfrac{3}{5}).
Xem thêm Chuyên đề Hình học THCS.
Tài liệu, hình ảnh và file gốc
Hệ thức lượng về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
Tỉ số lượng giác của góc nhọn
Hệ thức lượng giữa các cạnh và các góc của một tam giác vuông
